Homotopía propia simplicial

Resumen

En esta memoria se desarrollan las técnicas simpliciales para las categorías de homotopía propía, se buscan los modelos axiomáticos adecuados para dichas categorías y se estudian las teorías de homologías derivadas de las construcciones simpliciales correspondientes. El marco de trabajo usado para la categoría propia será la categoría de los espacios exteriores, recientemente introducida por García-Pinillos (véase Tesis (1998) Universidad de La Rioja) y García-Calcines, García-Pinillos, Hernández (véase A closed simplicial model category for proper homotopy and shape theories, Bull. Austr. Math. Soc. 57, 221-242, 1998). Para ello, se investiga más esta categoría obteniendo propiedades básicas, interpretación de la categoría, desarrollo de las leyes exponenciales, así como invariantes, diferentes estructuras axiomáticas para homotopía. Se presentan las categorías de M-conjuntos simpliciales y conjuntos simpliciales exteriores como modelos simpliciales para los espacios exteriores. Se establece para el primer modelo una estructura axiomática de Quillen y se crean funtores adjuntos "singular-realización geométrica exteriores" induciéndose dicha adjunción en las categorías localizadas respectivas. Se extiende la noción de exterior a otras categorías, entre ellas el segundo modelo. En éste se establece también una adjunción del tipo singular-realización. Posteriormente, se estudian invariantes de naturaleza homológica en la categoría de los espacios exteriores. Concretamente, la M-homología con la acción de un monoide M, y la R-homología. Intervienen como herramientas de construcción de las mismas el monoide M y el anillo de las matrices localmente finitas. Finalmente, se estudian otras homologías para los espacios exteriores: la homología tubular y la homología tubular cerrada. Se obtienen propiedades importantes, como la relación con la homología singular y que para CW complejos localmente finitos, contables y orientados, su homología celular localmente firita coincide con la homología tubular cerrada de cierta estructura de gCW complejo. Este resultado da una relación entre la homología reducida de Steenrod de un espacio métrico compacto y la homología tubular cerrada asociada a su complejo fundamental de Lefschetz.