Problemas sobre análisis geométrico convexo

Resumen

El objetivo fundamental de esta tesis es el estudio de dos conceptos básicos del análisis geométrico convexo: la isotropía y determinadas posiciones notables de cuerpos convexos, haciendo especial hincapié en las relaciones existentes entre ambos términos, En esta dirección, los principales resultados obtenidos son los siguientes: 1,- Se estudian las posiciones de máximo volumen de cuerpos convexo, probando extensiones no convexas del teorema clásico de John que descubren nuevas e interesantes relaciones entre posiciones de máximo volumen y propiedades de tipo isotrópico de ciertas medidas de Borel soportadas en pares de contacto de los cuerpos. 2,- Se investigan diferentes problemas extremales en el contexto de la teoría dual de brunn-Minkowski, probándose que la isotropía de ciertas medidas es condición necesaria y en muchos casos suficiente para caracterizar la solución a los problemas extremales en teoría dual y medidas con propiedades de tipo sitotrópico, que se han mostrado más profundos que los ya conocidos en el contexto de la teoría clásica. Las técnicas empleadas van desde el estudio de propiedades de medidas isotrópicas hasta estimaciones finas de series trigonométricas. 3,- Se aborda el estudio de desigualdades inversas en el contexto de la teoría dual de Brunn-Minkowski, obteniendose diferentes resultados que permiten inerconectar las desigualdades inversas con problemas clásicos del análisis convexo, hasta tal punto que se prueba que la existencia de determinadas desigualdades inversas es quivalente a la validez de las conjeturas del hiperpalno y de Bourgain. Las técnicas empleadas usan distintas herramientas fundamentales del análisis convexo, como la isotropía, posiciones de máximo volumen o MM*-estimaciones. 4,- Se profundiza en el estudio de la conjetura de Vaaler para los conjuntos Bpn (1<p<2), probándose su validez para subespacios de dimensión pequeña. Las técnias emple