Algebra homológica en dimensiones bajas para grupos categóricos

Resum

El objetivo general de esta Memoria es desarrollar un álgebra Homológica, en dimensiones bajas, para grupos categóricos en donde los coeficientes son grupos categóricos trenzados o simétricos. Este "carácter abeliano" de los coeficientes considerados conduce, al igual que pasa con la cohomología abeliana de grupos (definida por medio de grupos de cohomología y no meramente conjuntos como en el caso de la cohomología no abeliana), a que la cohomología de grupos (definida por medio de grupos de cohomología y no meramente conjuntos como en el caso de la cohomología no abeliana), a que la cohomología de grupos categóricos que introducimos suponga la definición de grupos categóricos Hi(G,A), i=0,1, para cada grupo categórico G y cada G-módulo A, y el análisis de su interrelación materializada en una sucesión exacta (en un sentido apropiado) de seis términos asociada a una sucesión exacta en los coeficientes que constituye la expresión 2- dimensional de la sucesión exacta fundamental en la cohomología (abeliana) de grupos. Para construir los grupos categóricos de cohomología en dimensión 0 y 1, previamente introducimos la noción de grupo categórico de derivaciones de un grupo categórico G en un G- modulo A y la noción de derivación interior asociada a cada objeto de A. Así, construímos el grupo categórico de cohomología como el núcleo del homomorfismo de grupos categóricos dado por derivaciones interiores y el primer grupo categórico de cohomología, como el grupo de punteado cociente (grupo categórico en este caso) asociado a ese homomorfismo. El hecho de destacar es que trabajar en este nivel 2-dimensional supone que, tanto las definiciones que se hacen como los resultados que se prueban, expresan relaciones no solo entre los objetos de las categorías (grupos categóricos) involucradas sino también entre sus morfismos. Esto pone de manifiesto que la obtención de invariantes como los grupos categóricos de cohomología supone la posibilidad de aglutinar en ellos nunca informaicón que, en todo caso, puede ser desplagada cuando, en casos concretos, es proyectada sobre la categoría de grupos (abelianos) al considerar los grupos de homotopía de dichos invariantes, y sus relaciones en sucesiones exactas inducidas, obteniendo así, como ejemplos, definiciones y resultados bien conocidos en diferentes contextos