Teoría de interpolación por superficies mínimas

Resumen

Teoría de Interpolación por Superficies Mínimas: Una superficie inmersa en el espacio euclídeo n-dimensional para n>2 se dice que es una superficie mínima si es localmente área minimizante, es decir, trozos de la misma suficientemente pequeños son las superficies de menor área entre todas las posibles con el mismo borde. Este tipo de superficies han sido un importante foco de interés en el campo de la geometría diferencial. Un hecho fundamental para el estudio de las superficies mínimas, sobre todo para el que realizamos en esta tesis, es el descubrimiento de una representación analítica de las superficies mínimas por Enneper y Weierstrass. La conocida como representación de Enneper-Weierstrass se fundamenta en el hecho de que las coordenadas de una inmersión mínima son armónicas, de forma que asocia a una superficie mínima ciertos datos de carácter holomorfo cumpliendo ciertas propiedades, siendo esta asociación en ambas direcciones. Es decir, a cada superficie mínima le corresponden unos "datos de Weierstrass" holomorfos y si tenemos unos "datos de Weierstrass" holomorfos cumpliendo ciertas propiedades podemos recuperar la superficie mínima. La fórmula de representación de Weierstrass ha influido enormemente en el estudio de las superficies mínimas en el espacio euclídeo proporcionando poderosas herramientas provenientes del análisis complejo. En particular, los teoremas de Runge y Mergelyan para superficies de Riemann abiertas se han explotado para desarrollar una teoría de aproximación uniforme para inmersiones mínimas conformes en el espacio euclídeo análoga a la existente para funciones holomorfas de una variable. Sin embargo, no ha sido hasta estos últimos años que esta relación entre el Análisis Complejo y las Superficies Mínimas ha alcanzado su apogeo gracias a las técnicas provenientes del análisis complejo englobadas en la teoría de Oka. Esta colaboración ha permitido construir superficies mínimas con interesantes propiedades globales y con completo control de la estructura compleja de las mismas, es decir, añadió a los resultados conocidos la posibilidad de controlar la estructura conforme u holomorfa de los ejemplos. Para un desarrollo más extenso del alcance de la relación entre la teoría de Oka y las superficies mínimas, véase [AF]. La Teoría de Aproximación por funciones holomorfas es un tema central en el Análisis Complejo que comenzó con el clásico teorema de Runge para caracterizar los subconjuntos del plano complejo sobre los que se pueden aproximar funciones holomorfas. Esta fuerte conexión existente que hemos descrito entre las Superficies Mínimas y el Análisis Complejo ha permitido demostrar generalizaciones de los Teoremas de Runge y Mergelyan para la familia de inmersiones mínimas conformes definidas sobre una superficie de Riemann abierta y con valores en el espacio euclídeo n-dimensional, véase [AL] para el caso de dimensión n=3 y [AFL] para el caso de dimensión arbitraria n>2. Paralelamente a la aproximación, la Teoría de Interpolación por funciones holomorfas es también un tema central de estudio en el Análisis Complejo que comenzó con el clásico teorema de interpolación de Weierstrass que afirma que podemos prescribir los valores de una función entera sobre una sucesión de puntos divergente. Sin embargo, resultados relacionados con interpolación por superficies mínimas no habían sido tratados con anterioridad. En esta tesis tratamos con el estudio de la interpolación por superficies mínimas en el espacio euclídeo n-dimensional demostrando una versión del teorema clásico de Weierstrass para superficies mínimas. Concretamente, demostramos que dado un subconjunto discreto y cerrado en una superficie de Riemann abierta, toda aplicación definida sobre este conjunto se extiende a una inmersión mínima conforme. Este teorema es el primer resultado que trata con un problema de interpolación para la familia de superficies mínimas. En la memoria se deduce este teorema como consecuencia de un resultado más general en el que aseguramos aproximación uniforme sobre compactos e interpolación jet de orden finito. Además, las soluciones construidas pueden elegirse completas, propias cuando la aplicación inicial lo sea, embebidas si n>4, y con control de su flujo. Demostramos también un resultado de tipo Mergelyan-Weierstrass, es decir, de aproximación más interpolación, para inmersiones holomorfas dirigidas. Dentro de esta familia de curvas complejas se encuentran las curvas nulas, que son aquellas curvas complejas dirigidas por la cuádrica nula. Estas inmersiones holomorfas guardan una estrecha relación con las superficies mínimas: por un lado la parte real e imaginaria de una curva nula es una inmersión mínima conforme; y al contrario, una inmersión mínima conforme es localmente en cada dominio simplemente conexo la parte real de una curva nula. Estos resultados aparecen en [AC2]. Dentro de la familia de superficies mínimas estudiamos un subconjunto particular: las superficies mínimas con curvatura total finita. Estas han sido también un importante objeto de interés en la literatura. Sin embargo, la flexibilidad holomorfa de los objetos involucrados no extiende a la categoría algebraica. Esto supone que los métodos de construcción que se basan en la teoría de Oka no proporcionan superficies mínimas completas en Rn con curvatura total finita. Solo en dimensión n=3 y haciendo uso de la representación espinorial para inmersiones mínimas conformes en R3, se ha podido demostrar un teorema de aproximación uniforme tipo Runge-Mergelyan para superficies mínimas completas con curvatura total finita, véase [L]. Para este subconjunto de superficies mínimas combinamos las técnicas que aparecen en [AC2] y en [L] para demostrar resultados análogos a los mencionados anteriormente para inmersiones mínimas conformes con curvatura total finita en R3. Estos resultados aparecen en [ACL]. Estos últimos resultados inician el camino hacia una nueva línea de investigación, conocida en la literatura por la expresión inglesa: "optimal hitting problems", y que puede aplicarse al ambiente de las superficies mínimas completas en R3 con curvatura total finita. Este problema consiste en decidir cuál es la superficie mínima más sencilla en términos de la curvatura total finita que contiene un subconjunto finito dado de R3. Es decir, determinar de entre todas las superficies mínimas que pasan por un subconjunto finito de puntos dado, aquellas que tienen curvatura total finita más pequeña (en valor absoluto). En relación a este problema proporcionamos una cota para el número de cortes de una recta con una superficie mínima de curvatura total finita que no la contiene. Mediante esta cota demostramos un resultado sobre la existencia de conjuntos que están en oposición a ciertas subfamilias de superficies mínimas con curvatura total finita acotada por un valor concreto, significando esto que ese conjunto no está contenido en la imagen de ninguna inmersión de la subfamilia que hemos fijado inicialmente. Estos resultados pueden encontrarse en [ACL]. Los últimos resultados que aparecen en la tesis son relativos a la existencia de superficies mínimas completas y densas en el espacio euclídeo de dimensión n>2. En este sentido es natural preguntarse qué dominios de Rn contienen superficies mínimas completas que sean densas en él; hasta entonces ningún dominio excepto el propio R3 se sabía que cumplía esa propiedad. Proporcionamos un resultado general de existencia de superficies mínimas completas y densas en cualquier dominio de Rn para dimensión arbitraria n>2. Construimos ejemplos con topología arbitraria y, si n>4, sin autointersecciones. Además, cuando el dominio es todo Rn proporcionamos ejemplos no solo con cualquier topología sino con estructura compleja arbitraria. No puede existir un resultado para dominios generales y para cualquier estructura conforme pues un dominio general no contiene superficies mínimas con estructura compleja arbitraria. Demostramos un teorema que proporciona inmersiones mínimas conformes contenidas en un dominio arbitrario con la estructura conforme de cualquier superficie de Riemann bordeada. Ambos resultados aparecen en [AC1].