Fenómenos de no-equilibrio en un sistema de discos rígidos

Resumen

Desde los trabajos pioneros de Boltzmann, Maxwell y Gibbs, la Mecánica Estadística ha obtenido un gran éxito a la hora de derivar las leyes de la Termodinámica del equilibrio a partir de la dinámica microscópica de las partículas que componen un determinado sistema. Su planteamiento se basa en los fenómenos emergentes que aparecen cuando un número suficientemente alto de partículas se ven restringidas por las mismas condiciones macroscópicas. Por ejemplo, en el caso microcanónico, las ligaduras se corresponden con las de un sistema aislado, donde el numero de partículas N, el volumen V y la energía total E se mantienen fijas. Si dejamos al sistema relajar el suficiente tiempo éste alcanza un estado estacionario caracterizado por una entropía máxima. Y esta entropía se puede calcular en el ámbito de la Mecánica Estadística a partir de las propiedades dinámicas de las partículas, esto es, a partir de su Hamiltoniano. Esta comprensión microscópica de la Termodinámica abrió el camino para su consiguiente generalización. De este modo la Mecánica Estadística se convirtió en la herramienta principal para explicar fenómenos como el movimiento Browniano, las transiciones de fase o el ferromagnetismo, sólo por mencionar algunos. La potencia de esta teoría reside en el carácter general de las derivaciones estadísticas, que se centran en como se relacionan las escalas entre si dejando los detalles microscópicos en un segundo plano. Este enfoque general permitió a la Mecánica Estadística entrar en otras disciplinas, y sus herramientas están siendo usadas actualmente en campos como la Biología, la Economía o la Sociología. La principal limitación de la Termodinámica es que sólo es aplicable a situaciones de equilibrio. Pero hay que recordar que el equilibrio en la Naturaleza es más la excepción que la regla. Típicamente los sistemas de interés están sometidos a entornos que cambian en el espacio, el tiempo o ambos. Esto se traduce en comportamientos complejos y la emergencia de patrones que estarían prohibidos bajos condiciones de equilibrio. Fenómenos tan importantes, desde un punto de vista práctico y filosófico, como el comportamiento del cerebro, los fenómenos de transporte, el clima o incluso la vida en sí misma, son procesos de no-equilibrio, convirtiendo la compresión fundamental del no-equilibrio en un asunto de máxima importancia. La impresión general dentro de la comunidad científica era que la Mecánica Estadística conseguiría deshacerse de esta licitación, haciendo posible una explicación fundamental de los fenómenos de no-equilibrio. Sin embargo, a pesar de todos los esfuerzos y la cantidad de avances en esta materia durante el pasado siglo, todavía no tenemos una teoría general válida arbitrariamente lejos del equilibrio. Las diferentes estrategias para abordar este problema han cambiado a lo largo de los años pasando de las descripciones macroscópicas hasta las modernas teorías sobre fluctuaciones. Con el fin de poner en contexto el propósito de esta tesis, permitidnos resumir brevemente la historia de este proceso. Los primeros intentos para caracterizar la fenomenología básica de la Física del no-equilibrio siguieron los pasos de la termodinámica, dando una descripción macroscópica en términosde variables macroscópicas. Entre los muchos ejemplos dos resaltan por su generalidad y alcance. Las ecuaciones de Navier-Stokes de la hidrodinámica y las ecuaciones de Transporte. Las ecuaciones de Navier-Stokes describen de forma general como se mueve un fluido continuo. A pesar de que no se conoce una solución general para estas ecuaciones, se usan como modelo computacional para describir el clima, el flujo de aire en un ala, o los flujos oceánicos sólo por mencionar algunos ejemplos. Además la tremenda generalidad de estas ecuaciones incluso a permitido, cuando se las acopla con las ecuaciones de Maxwell del Electromagnetismo, estudiar los flujos de plasma presentes en el Sol [1]. Por otra parte tenemos las ecuaciones de Transporte que incluyen leyes diferentes que comparten la misma expresión formal. Esta expresión relaciona los flujos presentes en un sistema con el gradiente (o fuerza) impuesto en una magnitud relacionada. En esta categoría encontramos la ley de Fourier para el transporte de energía, la ley de Fick para la difusión de partículas, o la ley de Ohm para el transporte eléctrico. La primera en aparecer en la literatura, y la que está relacionada directamente con esta tesis, es la ley de Fourier [2,3]. En su trabajo Fourier relacionó el flujo de energía entre dos cuerpos mantenidos a distintas temperaturas con la diferencia entre estas temperaturas, por medio de un coeficiente característico del material que une las dos fuentes térmicas. Aunque sólo consideró una relación lineal con el gradiente, el abanico de gradientes en los que esta ley es valida es sorprendentemente amplio, como confirman las simulaciones hechas para un sistema de partículas interaccionando con un potencial de Lenard-Jones [4]. También hay que destacar que cuando hay varias condiciones de transporte actuando a la vez, los coeficientes para los distintos fenómenos de transporte están relacionados. En particular, por ejemplo, es posible inducir un transporte de energía a temperatura constante imponiendo un gradiente de presión, y a su vez, es posible inducir un transporte de momento a presión constante imponiendo un gradiente de temperatura. Resulta que los coeficientes que caracterizan estos efectos cruzados son iguales entre sí. Las relaciones de reciprocidad de Onsager, probadas bajos condiciones muy generales [5,6], afirman que esta igualdad debe cumplirse, obteniendo por este trabajo el premio Nobel de Química en el año 1968. Estos dos ejemplos de teorías macroscópicas están relacionados y componen el núcleo de las llamadas ecuaciones constitutivas (o fenomenológicas) que se usan en las teorías macroscópicas de no-equilibrio [7]. La amplia generalidad de estas ecuaciones sugiere, como pasa en el caso termodinámico, que sus propiedades tienen un origen estadístico. En particular deberíamos ser capaces de calcular los diversos coeficientes de transporte a partir de las propiedades microscópicas de un determinado sistema, como podemos hacer, por ejemplo, con el calor especifico de una sustancia en el caso de equilibrio. La clave de este cálculo resulta ser el papel que juegan las fluctuaciones. La primera evidencia de esto está en la serie de artículos de Einstein sobre el movimiento Browniano (una recopilación en inglés puede encontrarse en [8]), donde, por primera vez, se establece una relación entre la fuerza externa aplicada a un fluido y sus fluctuaciones de equilibrio. Esto fue generalizado en 1928 por Nyquist estableciendo una relación entre las fluctuaciones del potencial eléctrico y la resistencia en un conductor [9]. Su resultado fue probado y ampliado por Callen y Welton a sistemas disipativos lineales, formulando el teorema de Fluctuación-Disipación [10]. Más tarde Green y Kubo derivaron expresiones exactas para los coeficientes de transporte cerca del equilibrio en términos de funciones temporales de auto-correlación [11,12]. Estos resultados resaltaron el papel de las fluctuaciones pero estaban limitados a sistemas cerca del equilibrio. Cuando los sistemas están alejados del equilibrio los resultados generales son todavía escasos. Una de estas raras excepciones es el teorema de Fluctuación discutido en un principio en el contexto de fluidos bajos efectos de cizalladura [13], y formulado rigurosamente por Gallavotti y Cohen bajos suposiciones muy generales [14]. No ha sido hasta hace poco que la Física del no-equilibrio a experimentado una autentica revolución. En el núcleo de esta revolución se encuentra la clarificación del papel jugado por las fluctuaciones macroscópicas, con su estadística y estructuras asociadas, a la hora de entender comportamientos de no-equilibrio [15, 16, 17, 18, 19, 20, 21]. El lenguaje de esta revolución es la teoría de largas desviaciones, donde las funciones de largas desviaciones (Large-Deviation Functions (LDFs)), que miden la probabilidad de las fluctuaciones y los caminos óptimos que sostienen estas desviaciones, se perfilan como los elementos centrales de la teoría. De hecho las LDFs juegan un papel similar a la energía libre en los sistemas de no-equilibrio te lejos del equilibrio[15, 16, 17, 18, 19, 20]. De este modo, la tan ansiada teoría general de los fenómenos de no-equilibrio se divisa actualmente como una teoría de fluctuaciones macroscópicas, y el cálculo, medición y entendimiento de las LDFs y sus caminos óptimos asociados se ha convertido en una cuestión fundamental de la Física teórica. Este paradigma ha liderado el camino hacia numerosos resultados innovadores válidos arbitrariamente lejos del equilibrio, muchos de ellos en forma de teoremas de fluctuación nte lejos del equilibrio, mu [15, 16, 17, 18, 19, 20, 21]. Dentro de los fenómenos de no-equilibrio el estado estacionario de un sistema sometido a un gradiente de temperatura es uno de los más simples. Sorprendentemente, incluso este caso tan sencillo, no se comprende enteramente desde un punto de vista teórico. El principal inconveniente es que las teorías que lo describen se basan en hipótesis que carecen de una demostración rigurosa. En nuestro caso particular dos de estas hipótesis resaltan por ser los pilares en los que se fundamentan las descripciones del estado estacionario: el Equilibrio Local Térmico y la ley de Fourier. El Equilibrio Local Térmico se basa en la suposición de que los tiempos necesarios para equilibrar el sistema localmente son mucho más cortos que los tiempos característicos asociados con los fenómenos macroscópicos de no equilibrio. Esto permite definir magnitudes locales, como la temperatura o la densidad, así como usar las relaciones termodinámicas localmente. Sin embargo a la hora de usar este concepto hay que lidiar con una sutileza muy importante. Se sabe que desde un punto de vista formal la medida asociada a un sistema fuera del equilibrio en el estado estacionario, en analogía con la medida de Boltzman-Gibs para el caso de equilibrio, de existir, no puede ser exactamente la misma que la de equilibrio, ya que en este caso no existirían ni correlaciones de largo alcance en el sistema ni un flujo asociado al gradiente impuesto [22]. De esta forma una manera más precisa de definir el Equilibrio Local Térmico sería que la medida asociada a las configuraciones de un sistema en el estado estacionario son tales que los valores esperados macroscópicos coinciden con los calculados con una distribución de equilibrio pero que las fluctuaciones calculadas con estos dos métodos no son iguales entre si. Por lo tanto a la hora de estudiar este concepto tenemos que distinguir entre el nivel macroscópico de observación y el nivel fluctuante, siendo necesario estudiar ambos para tener una confirmación clara de esta hipótesis. Por otro lado el problema asociado a la Ley de Fourier en particular, y a las ecuaciones constitutivas en general, es que no existe un cálculo riguroso de los coeficientes de transporte a partir de la dinámica microscópica del sistema, válido arbitrariamente lejos del equilibrio. Esto sólo ha sido posible hacerlo en modelos muy simplificados de transporte [22,23]. Esto tiene como consecuencia que no se sepa si a priori la Ley de Fourier es válida para un sistema determinado, siendo necesario determinarlo computacionalmente modelo a modelo. Nuestra motivación principal para la realización de esta tesis era ahondar en la comprensión de estas hipótesis teóricas que no tienen, a día de hoy, una demostración matemática rigurosa. Esta falta de resultados se debe a la gran complejidad asociada al problema. Por lo tanto una caracterización computacional de los límites de validez de estas hipótesis tiene gran valor orientativo a la hora de encontrar nuevas formas de abordar dichos problemas. Metodología y Resultados Para avanzar en el entendimiento de estos conceptos de no-equilibrio realizamos un análisis detallado de un modelo paradigmático, el fluido de Cuerpos Sólidos (Hard Body (HB)). En particular nos centramos en la versión de dimensión dos de este modelo, el modelo de Discos Rígidos ((Hard Disks (HD)), usando para su estudio extensas simulaciones de dinámica molecular y análisis teóricos complementarios. El modelo de Cuerpos Rígidos y sus modelos relacionados está entre los modelos más exitosos, inspiradores y prolíficos de la Física. Modelar las partículas como cuerpos impenetrables es una de las maneras más simples de introducir una interacción entre ellas, sin embargo contiene los ingredientes esenciales para entender una gran clase de comportamientos complejos, desde las transiciones de fase o el transporte de calor a las dinámicas de vidrios, el ``jamming'', los cristales líquidos o los materiales granulares sólo por mencionar algunos [24, 25, 26, 27]. Además, el estudio de sistemas relacionados con los cuerpos rígidos ha motivado profundas revelaciones y nuevos conceptos, como los teoremas de fluctuación [13, 14, 28] o las colas de tiempos largos en fluidos [29], así como importantes herramientas como la dinámica molecular [30] o el muestreo Monte Carlo en simulaciones [31], que son en la actualidad piedras angulares en la Física. Esta amplitud de aplicaciones hacen de los modelos de Cuerpos Rígidos un paradigma en Física de la materia condensada y en la Física Estadística, especialmente en situaciones de no-equilibrio [28, 22, 32, 33, 34, 35, 36, 37]. Sin embargo todavía quedan muchos problemas importantes abiertos en la Física de los Cuerpos Rígidos, desde la desconocida ecuación de estado para dimensiones mayores que uno [24], a la naturaleza de la transición de fase en dos dimensiones o la divergencia débil de la conductividad térmica para Discos Rígidos [22, 38, 39], haciendo los resultados generales para Cuerpos Rígidos todavía más interesantes. En particular en el capítulo 1 damos una descripción detallada del modelo de discos rígidos así como del algoritmo necesario para simularlo eficientemente. Damos, además, los resultados obtenidos en simulaciones de equilibrio, las cuales hemos usado como comprobación de la bondad de nuestro programa. Encontramos que los perfiles de densidad y temperatura son planos y consistentes con los valores impuestos en la frontera. Notamos, que en otros trabajos donde estudian este sistema en equilibrio, se usan condiciones de contorno periódicas para reducir los efectos de borde. Sin embargo, debido al uso de muros rígidos para simular las fuentes térmicas, encontramos importantes efectos de borde en nuestro sistema. Realizamos un análisis de escalas finitas para caracterizar estos efectos de tamaño, confirmando que desaparecen en el límite termodinámico. También estudiamos la presión medida con dos métodos diferentes. Encontramos que las dos aproximaciones son consistentes y que coinciden con los resultados de otras simulaciones presentes en la literatura [24, 39, 40, 41]. Concluimos de estos resultados que nuestra simulación es correcta y adecuada para estudiar fenómenos de no-equilibrio. En el capítulo 2 damos una descripción experimental dela Física de no-equilibrio de nuestro sistema. Nos concentramos principalmente en la descripción de los perfiles de densidad y temperatura que emergen una vez alcanzado el estado estacionario. Encontramos perfiles no-lineales y damos ajustes experimentales que presentan un acuerdo muy bueno con nuestros datos. Le prestamos especial atención a los efectos de borde, que resultan ser más complicados que en el caso de equilibrio. Mostramos como los efectos de borde y de tamaño están enredados, siendo necesario uno para explicar el otro y viceversa. Esto hace que un análisis tradicional de escala sea muy complicado ocultando una descripción clara de nuestro sistema en el limite termodinámico. Para cerrar el capítulo estudiamos un observable principal de los sistemas fuera del equilibrio, la corriente de energía que atraviesa el sistema. Mostramos como esta corriente depende del gradiente externo y del número de partículas. En el capitulo 3 estudiamos en detalle el papel del Equilibrio Local Térmico (LTE) y si se cumple o no en nuestro sistema. No hay una prueba teórica general de esta hipótesis [22], y confirmar su presencia en simulaciones es muy difícil. Para hacer ésto distinguimos entre LTE macroscópico y microscópico. Para comprobar si el LTE es valido a nivel macroscópico estudiamos si el sistema sigue la Ecuación de Estado de equilibrio localmente. Sorprendentemente, a pesar de estar fuera del equilibrio y del los fuertes efectos de tamaño encontrados en el capítulo 2 para los perfiles de densidad y de temperatura, el sistema sigue localmente la Ecuación de Estado con gran precisión y sin efectos apreciables de tamaño. Es más, los datos obtenidos concuerdan muy bien con los datos presentes en la literatura para simulaciones de equilibrio [42, 43, 40, 41, 44, 45]. Esta ausencia de efectos de tamaño nos ayudará en el capítulo 4 a construir una estrategia que nos permita evitar efectos de tamaño espurios. Para comprobar si el LTE es válido a nivel microscópico estudiamos si las distribuciones globales, de la velocidad y la energía, medidas para nuestro sistema se corresponden con las distribuciones derivadas de la suposición de que el LTE es válido. Aunque no encontramos desviaciones para la distribución global de la velocidad, salvo efectos de tamaño, los segundos momentos de la distribución de energía se desvían sistemáticamente de la predicción de equilibrio local. Encontramos que la diferencia entre estas dos magnitudes depende linealmente del gradiente externo al cuadrado con una pendiente de 1/40. Finalmente encontramos que para gradientes altos y densidades medias altas aparece una coexistencia de fases líquido-sólido. Estudiamos esta coexistencia de no-equilibrio encontrando que la hipótesis de LTE se viola en la parte del sistema ocupada por la fase sólida. Mostramos como la fenomenología de este solido no es equivalente a la del caso de equilibrio. Concluimos de este capítulo que el LTE se cumple a nivel macroscópico (en la fase líquida) y que se encuentran desviaciones a nivel fluctuante. En el capítulo 4 estudiamos la validez de la ley de Fourier. Para ello, tenemos que diseñar una estrategia para separar los efectos de tamaño estudiados en el capítulo 2, que distorsionan un enfoque directo. Sabemos del capítulo 3 que el Equilibrio Local Térmico se cumple de forma que no presenta efectos de tamaño finito. Usando esto y suponiendo que la ley de Fourier se cumple para nuestro sistema derivamos teóricamente una ley de escala para los perfiles de un sistema infinito de Discos Rígidos. Esta ley de escala se caracteriza por dos curvas universales de las que podemos derivar cualquier perfil posible. Encontramos que las predicciones de esta teoría concuerdan muy bien con nuestros datos. En particular es extraordinario que todos los perfiles obtenidos para las distintas condiciones externas, y para un numero de partículas dado, colapsen en una curva universal, indicando que la ley de Fourier se cumple en nuestro sistema. Esto implica, como consecuencia de la escala, lo que hemos llamado ¿Bulk-Boundary Decoupling'¿. Generalmente se cree que, una vez descartado la parte del sistema afectada por efectos de borde, el resto del sistema debe presentar efectos de tamaño finito. Nuestros resultados combinados, de este capítulo y del anterior, sugieren fuertemente que esto no es así. De hecho el sistema se comporta como si fuera infinito cumpliéndose además el LTE y la ley de Fourier, y dejando, como única reminiscencia de su carácter finito sólo dos efectos: una fuente térmica efectiva, compuesta por los baños y la región del sistema afectada por efectos de borde, en donde se concentran todos los efectos de tamaño finito espurios, y una conductividad térmica dependiente del tamaño físicamente relevante, reminiscencia de las conocidas colas para tiempos largos presentes en sistemas de Discos Rígidos [29]. Creemos que este análisis puede tener muchas aplicaciones en la descripción del estado estacionario de fluidos más complejos. De hecho en el apéndice B derivamos una escala para potenciales de núcleo suave que son, en ciertos casos, el comportamiento límite del más realista potencial de Lenard-Jones [46, 47]. En el capítulo 5 nos centramos en las fluctuaciones de la corriente de energía. Derivamos en detalle la recientemente introducida Relación Isométrica Fluctuante (Isometric Fluctuation Relation (IFR)) que es una consecuencia de las profundas implicaciones que introduce la reversibilidad temporal a nivel fluctuante. Nuestras medidas concuerdan con la teoría aunque nuestro sistema no cumple, a priori, todas las condiciones de la derivación teórica. Esto sugiere que la Relación Isométrica Fluctuante podría admitir futuras generalizaciones. Bibliografía [1] Hannes Alfv ¿n. Existence of electromagnetic-hydrodynamic waves. Nature, 150(3805):405¿406, 1942. [2] Joseph Fourier. Theorie analytique de la chaleur, par M. Fourier. Chez Firmin Didot, p`re et fils, 1822. [3] Jean Baptiste Joseph baron Fourier. The analytical theory of heat. The University Press, 1878. [4] Alexander Tenenbaum, Giovanni Ciccotti, and Renato Gallico. Stationary nonequilibrium states by molecular dynamics. Fourier¿s law. Physical Review A, 25(5), 1982. [5] Lars Onsager. Reciprocal relations in irreversible processes. i. Physical Review, 37(4):405, 1931. [6] Lars Onsager. Reciprocal relations in irreversible processes. ii. Physical Review, 38(12):2265, 1931. [7] Sybren Ruurds De Groot and Peter Mazur. Non-equilibrium thermodynamics. Courier Dover Publications, 2013. [8] Albert Einstein. Investigations on the Theory of the Brownian Movement. Courier Dover Publications, 1956. [9] Harry Nyquist. Thermal agitation of electric charge in conductors. Physical review, 32(1):110¿113, 1928. [10] Herbert B Callen and Theodore A Welton. Irreversibility and generalized noise. Physical Review, 83(1):34¿40, 1951. [11] Melville S Green. Markoff random processes and the statistical mechanics of time-dependent phenomena. ii. irreversible processes in fluids. Journal of Chemical Physics, 22:398¿413, 1954. [12] Ryogo Kubo. Statistical-mechanical theory of irreversible processes.i. general theory and simple applications to magnetic and conduction problems. Journal of the Physical Society of Japan, 12(6):570¿586, 1957. [13] Denis J Evans, EGD Cohen, and GP Morriss. Probability of second law violations in shearing steady states. Physical Review Letters,71(15):2401, 1993. [14] G Gallavotti and EGD Cohen. Dynamical ensembles in nonequilibrium statistical mechanics. Physical Review Letters, 74(14):2694, 1995. [15] Lorenzo Bertini, Alberto De Sole, Davide Gabrielli, Giovanni Jona-Lasinio, and Claudio Landim. Fluctuations in stationary nonequilibrium states of irreversible processes. Physical Review Letters,87(4):040601, 2001. [16] L Bertini, A De Sole, and D Gabrielli. Macroscopic fluctuation theory for stationary non-equilibrium states. Journal of statistical . . . ,107(May):635¿675, 2002. [17] L Bertini, A De Sole, and D Gabrielli. Current fluctuations in stochastic lattice gases. Physical review . . . , 030601(January):1¿4, 2005. [18] L Bertini, AD Sole, and D Gabrielli. Non equilibrium current fluctuations in stochastic lattice gases. Journal of statistical . . . , 123(2):237¿276, 2006. [19] L Bertini, A De Sole, D Gabrielli, G Jona-Lasinio, and C Landim. Stochastic interacting particle systems out of equilibrium. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, 2007(07):P07014, 2007. [20] Bernard Derrida. Non-equilibrium steady states: fluctuations and large deviations of the density and of the current. Journal of Statistical Mechanics: Theory and . . . , (1), 2007. [21] Udo Seifert. Stochastic thermodynamics, fluctuation theorems and molecular machines. Reports on Progress in Physics, 75(12):126001,2012. [22] F Bonetto and J L Lebowitz. Fourier law: a challenge to theorists. Arxiv:1¿23, 2008. [23] Stefano Lepri, Roberto Livi, and Antonio Politi. Thermal conduction in classical low-Dimensional lattices. Physics Reports, 377(1):1¿80, 2003. [24] Mulero A. (ed.). Theory and Simulation of Hard-Sphere Fluids and Related Systems. Springer, Heidelberg, 2008. [25] Ludovic Berthier, Giulio Biroli, Jean-Philippe Bouchaud, Luca Cipelletti, and Wim van Saarloos. Dynamical heterogeneities in glasses, colloids, and granular media. Oxford University Press, 2011. [26] J Prost. The physics of liquid crystals. Number 83. Oxford university press, 1995. [27] Anita Mehta. Granular physics. Cambridge University Press, 2007. [28] Pablo I Hurtado, Carlos P ¿rez-Espigares, Jes ¿s J del Pozo, and Pedro L. Garrido. Symmetries in fluctuations far from equilibrium. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 108(19):7704¿9, 2011. [29] BJ Alder and TE Wainwright. Velocity autocorrelations for hard spheres. Physical review letters, 18(23):988, 1967. [30] B. J. Alder and T. E. Wainwright. Phase Transition for a Hard Sphere System. The Journal of Chemical Physics, 27(5):1208, 1957. [31] Marshall N Rosenbluth and Arianna W Rosenbluth. Further results on monte carlo equations of state. The Journal of Chemical Physics, 22(5):881¿884, 2004. [32] Abhishek Dhar. Heat transport in low-dimensional systems. Advances in Physics, 57(5):457¿537, 2008. [33] NI Chernov and Joel L Lebowitz. Stationary nonequilibrium states in boundary-driven hamiltonian systems: shear flow. Journal of statistical physics, 86(5-6):953¿990, 1997. [34] F Bonetto, G Gallavotti, and PL Garrido. Chaotic principle: an experimental test. Physica D: Nonlinear Phenomena, 105(4):226¿252, 1997. [35] Pedro L Garrido, Pablo I Hurtado, and Bjoern Nadrowski. Simple one-dimensional model of heat conduction which obeys fouriers law. Physical review letters, 86(24):5486, 2001. [36] P L Garrido, S Goldstein, and J L Lebowitz. Physical review letters. [37] PL Garrido and G Gallavotti. Boundary dissipation in a driven hard disk system. Journal of Statistical Physics, (1):4¿6, 2007. [38] Etienne P Bernard and Werner Krauth. Two-step melting in two dimensions: First-order liquid-hexatic transition. Physical review letters,107(15):155704, 2011. [39] Michael Engel, Joshua A Anderson, Sharon C Glotzer, Masaharu Isobe, Etienne P Bernard, and Werner Krauth. Hard-disk equation of state: First-order liquid-hexatic transition in two dimensions with three simulation methods. Physical Review E, 87(4):042134, 2013. [40] Erpenbeck J.J. and Luban M. Equation of state of the classical hard disk fluid. Physcal Review A, 32(5):2920¿2922, 1985. [41] J. Kolafa and M. Rottner. Simulation-based equation of state of the hard disk fluid and prediction of higher-order virial coefficients. Molecular Physics, 104(22-24):3435¿3441, 2006. [42] Nicholas Metropolis, Arianna W Rosenbluth, Marshall N Rosenbluth, Augusta H Teller, and Edward Teller. Equation of state calculations by fast computing machines. The journal of chemical physics, 21(6):1087¿1092, 2004. [43] T. Einwohner. Molecular Dynamics. VI. Free-Path Distributions and Collision Rates for Hard-Sphere and Square-Well Molecules. The Journal of Chemical Physics, 49(4):1458, 1968. [44] CH Mak. Large-scale simulations of the two-dimensional melting of hard disks. Physical Review E, pages 1¿4, 2006. [45] Michael Engel, JA Anderson, and SC Glotzer. Hard-disk equation of state: First-order liquid-hexatic transition in two dimensions with three simulation methods. Physical Review E, (1):1¿7, 2013. [46] Ulf R Pedersen, Nicholas P Bailey, Thomas B Schrøder, and Jeppe C Dyre. Strong pressure-energy correlations in van der waals liquids. Physical review letters, 100(1):015701, 2008. [47] Nicoletta Gnan, Thomas B Schrøder, Ulf R Pedersen, Nicholas P Bailey, and Jeppe C Dyre. Pressure-energy correlations in liquids.iv.isomorphs? in liquid phase diagrams. The Journal of chemical physics, 131(23):234504, 2009.