Comparación de alternativas bajo incertidumbre e imprecisión

Resumen

En muchas situaciones de la vida real es necesario de comparar alternativas. Además, es habitual que estas alternativas estén definidas bajo falta de información. En esta memoria se consideran dos tipos de falta de información: incertidumbre e imprecisión. La incertidumbre se refiere a situaciones en las cuales los posibles resultados del experimento son conocidos y se pueden describir completamente, pero el resultado del mismo no es conocido, mientas que en las situaciones bajo imprecisión se conoce el resultado del experimento pero no es posible describirlo con precisión. Por tanto, la incertidumbre se modelará mediante la Teoría de la Probabilidad, mientras que la imprecisión será modelada mediante la Teoría de los Conjuntos Intuicionísticos. Además, cuando ambas faltas de información aparezcan simultáneamente, se utilizará la Teoría de las Probabilidades Imprecisas. Cuando las alternativas a comparar estén definidas bajo incertidumbre, éstas se modelarán mediante variables aleatorias. Por tanto, para compararlas será necesario utilizar un orden estocástico. En esta memoria se consideran dos órdenes: la dominancia estocástica y la preferencia estadística. El primero de ellos es uno de los métodos más utilizados en la literatura, mientras que el segundo es el método óptimo de comparación de variables cualitativas. Para estos métodos se han estudiado varias propiedades. En particular, si bien es conocido que la dominancia estocástica está relacionada con la comparación de las esperanzas de determinadas trasformaciones de las variables, se prueba que la preferencia estadística está más ligada a otro parámetro de localización, la mediana. Además, se han encontrado situaciones bajo las cuales la dominancia estocástica está relacionada con la preferencia estadística. Estos dos órdenes estocásticos han sido definidos para comparar variables aleatorias por pares. Por esta razón se ha definido una extensión de la preferencia estadística para la comparación simultánea de más de dos variables y se han estudiado varias propiedades. Cuando las alternativas están definidas en un marco de incertidumbre e imprecisión, cada una de ellas se modelará mediante un conjunto de variables aleatorias. Dado que los órdenes estocásticos comparan variables aleatorias, es necesario realizar su extensión para la comparación de conjuntos de variables. Cuando el orden estocástico utilizado es la dominancia estocástica o la preferencia estadística, la comparación de los conjuntos de variables aleatorias está claramente relacionada con la comparación de elementos propios de la teoría de las probabilidades imprecisas, como pueden ser las p-boxes. Gracias al modelo general que desarrollaremos, se podrán estudiar en particular dos situaciones habituales en los problemas de la teoría de la decisión: la comparación de variables aleatorias bajo utilidades o creencias imprecisas. El primer problema se modelará mediante conjuntos aleatorios, y por lo tanto su comparación se realizará a través de sus conjuntos de selecciones medibles. El segundo problema será modelado mediante un conjunto de probabilidades. Cuando las distribuciones marginales de las variables están definidas bajo imprecisión, la distribución conjunta no se puede obtener mediante el Teorema de Sklar. Por ello, resulta necesario investigar una versión imprecisa de este resultado, que tendrá importantes aplicaciones en los órdenes estocásticos bivariantes definidos bajo imprecisión. Si las alternativas se definen bajo imprecisión, pero no bajo incertidumbre, éstas se modelarán mediante conjuntos intuicionísticos. Para su comparación se introduce una teoría matemática de comparación de este tipo de conjuntos, dando especial relevancia al concepto de IF-divergencia. Estas medidas de comparación de conjuntos intuicionísticos poseen numerosas aplicaciones, como pueden ser en el reconocimiento de patrones o la teoría de la decisión. Los conjuntos intuicionísticos permiten grados de pertenencia y de no pertenencia, y por ello resultan un buen modelo bipolar. Dado que las probabilidades imprecisas también son utilizadas en el contexto de la información bipolar, se estudiarán las conexiones entre ambas teorías. Estos resultados mostrarán tener interesantes aplicaciones, y en particular permitirán extender la dominancia estocástica para la comparación de más de dos p-boxes.