Aproximación de los conjuntos aleatorios borrosos desde una interpretación óntica

Resumen

El capítulo 1 se ocupa de las nociones de similitud/disimilitud entre conjuntos borrosos. En primer lugar, proporcionamos tres listas de axiomas que se ajustan a las respectivas nociones de medida general de comparación, medida de similitud y medida de disimilitud. A continuación, se revisan algunas de las definiciones axiomáticas más importantes de la literatura, estudiadas de forma independiente por distintos autores, en relación con dichos conceptos, haciendo referencia a los axiomas que satisface cada definición específica, dentro de este marco común. El objetivo final del capítulo consiste en presentar un esquema general acerca de las relaciones entre ellas, a partir de resultados formales y contraejemplos que reflejan qué definiciones de (di)similitud de la literatura están conectadas por relaciones de implicación y cuáles de ellas, no. El capítulo concluye con un estudio detallado acerca de la dualidad entre las distintas definiciones de similitud' y disimilitud de la literatura. El capítulo 2 está dedicado al estudio de los conceptos de medidas de tendencia central y dispersión, en el contexto de los conjuntos aleatorios (borrosos). Nos servirán de apoyo algunos estudios previos de estos dos conceptos en la literatura. A diferencia de ellos, en nuestro caso, el espacio final no será necesariamente un espacio numérico, ni siquiera un espacio métrico. En este punto, las medidas de disimilitud del capítulo 1 tendrán un papel fundamental, ya que la dispersión de la variable aleatoria difusa se expresará en función de una medida de este tipo, como la esperanza de las disimilitudes entre las parejas de observaciones de la misma, sin necesidad de que esta medida cumpla las propiedades de las métricas, ni esté definida en una escala numérica, tal como ocurre con otros precedentes de la literatura. Por otra parte, la idea de medida de tendencia central se materializará en el concepto de centroide. Este concepto estará también ligado a las disimilitudes y se determinará, siguiendo un procedimiento análogo al de la construcción de la esperanza de Frèchet, como el subconjunto difuso (único o no) que minimiza la disimilitud esperada con respecto a las imágenes de la variable aleatoria difusa. Comprobaremos que el concepto de centroide generaliza algunas definiciones ya existentes en la literatura acerca de variables aleatorias difusas, como la esperanza de Puri y Ralescu, la mediana de Sinova et al., y también extiende los conceptos de media, mediana y moda de las variables aleatorias clásicas. En el capítulo 3, asumiremos la existencia de una relación de equivalencia en un universo U, determinada por una colección de atributos: todos los elementos asociados al mismo vector de valores para todos los atributos serán indistinguibles, y formarán una clase de equivalencia. Consideraremos un conjunto aleatorio, cuyas imágenes son subconjuntos de ese universo. Dicho conjunto aleatorio determinará una distribución de probabilidad en una sigma-álgebra contenida en la familia de conjuntos formados, a su vez, por subconjuntos del universo U. Debido a la imprecisión de nuestras observaciones, solo podremos determinar una familia de medidas de probabilidad compatibles con la información disponible. En primer lugar, proporcionamos una expresión explícita para el máximo y el mínimo de dicha familia de probabilidades, en aquellos casos en que es posible. A continuación, caracterizamos el conjunto de valores para el centroide y la dispersión del conjunto aleatorio. Por último mostramos una forma adecuada de cuantificar el grado de imprecisión o inexactitud de nuestra información acerca de las imágenes del conjunto aleatorio, generalizando previamente la noción de rugosidad introducida por Pawlak en 1991. Para cada uno de estos apartados, comenzamos con el estudio particular en el caso de los conjuntos aleatorios y después extendemos nuestro estudio al caso de las variables aleatorias difusas.