Index of vector fields on manifolds and isochronicity for planar hamiltonian differential systems

Abstract

Los contenidos de la memoria se enmarcan dentro de la Teoría Cualitativa de las Ecuaciones Diferenciales, EL trabajo se divide esencialmente en dos partes que pueden leerse de manera independiente. 6a primera, formada por los Capítulos 1, 2 y 3, trata cuestiones relacionadas con el índice de campos vectoriales sobre variedades de dimensión arbitraria. En la segunda, formada por los Capítulos 4, 5, 6 y 7, se estudian los centros isócronos de los sistemas diferenciales Hamiltonianos en el plano En el Capítulo 1, dado un campo vectorial X sobre una variedad, estudiamos el flujo de x = X(x) y consideramos un atractor compacto K con región de atracción A. Probamos que el índice de X en K depende únicamente de la topología de A y esto nos permite dar la generalización natural, desde el punto de vista dinámico, del Teorema de Poincaré-Hopf para variedades no compactas. En el Capítulo 3 obtenemos una formula que permite calcular el índice de un campo vectorial sobre cualquier superficie compacta. En la segunda parte de la memoria nos dedicamos a estudiar la isocronía en los sistemas diferenciales Hamiltonianos analíticos en el plano. Es decir, sistemas de la forma con H analítica. En el Capítulo 4 probamos que todo centro no degenerado de (1) tiene una normalización canónica. Como consecuencia obtenemos que un centro es isócrono si y sólo si tiene una linealización canónica. En el Capítulo 5 consideramos sistemas potenciales, es decir del tipo (1) con . Mostramos que la isocronía de un centro esta muy relacionada con la geometría de su period annulus y con las involuciones en R. En el Capítulo 6 estudiamos el sistema (1) con , que es una familia que contiene los sistemas potenciales. Obtenemos caracterizaciones de la isocronía que son especialmente relevantes en el caso polinomial. Damos también los primeros ejemplos de sistemas Hamiltonianos polinomiales con uncentro isócrono no global. Finalm