Some problems on prescribed mean curvature and kinematics in general relativity

Resum

La tesis está estructurada en dos bloques. El primero de ellos se ocupa del problema de la prescripción de la función curvatura media de grafos espaciales, rotacionalmente simétricos y embebidos en ciertos espaciotiempos de relevancia física, como el de Schwarzschild, el de Reissner-Nordström, o los de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker. Desde un punto de vista analítico, se reformula como un problema de existencia de soluciones de una ecuación cuasilineal elíptica. El estudio de esta ecuación, con condiciones de frontera de tipo Dirichlet, nos conduce a la existencia y unicidad de grafos espaciales enteros o con un comportamiento asintótico prefijado. Finalmente, se analiza el problema de la prescripción de las curvaturas medias de orden superior para grafos en el espaciotiempo de Minkowski y en el ambiente euclídeo, obteniendo nuevos resultados de existencia y unicidad. En la segunda parte, varios conceptos cinemáticos, bien conocidos en la física clásica, se transportan al ámbito de la Relatividad General. Con una motivación eminentemente física, se introducen las nociones de movimiento rectilíneo, circular y uniformemente acelerado, y se analizan desde el punto de vista de la geometría lorentziana. Tras una caracterización geométrica de los observadores que obedecen alguno de estos tipos de movimiento, se estudia su completitud, es decir, se buscan hipótesis sobre el espaciotiempo ambiente que aseguren que tales observadores no desaparecen en tiempo propio finito.