Renormings in c(k) spaces

Résumé

La teoría del renormamiento estudia problemas relacionados con la construcción de normas equivalentes en espacios de Banach con buenas propiedades de convexidad o diferenciabilidad, En esta tesis, estamos especialmente interesados en renormamientos local uniformemente rotundos en espacios de Banach de tipo C(K). La norma | . | de un espacio de Banach X se dice local uniformemente rodunda (LUR para abreviar) si lim|x-x_n|=0 cuando la sucesión (x_n)_n y el punto x son elementos de la esfera unidad de X cumpliendo lim|x+x_n|=2. Los espacios de funciones reales y continuas definidas en compactos son considerados ejemplos clásicos en la teoría de los espacios de Banach. La tesis se divide en tres capítulos y consta de una introducción donde se contextualiza el problema central de la misma. En el primer capítulo caracterizamos la existencia de normas equivalentes LUR en espacios C(K) en términos de dos conceptos topológicos: coordenadas de control y cubrimientos de K por conjuntos de oscilación pequeña. Así mismo, también caracterizamos la sigma-fragmentabilidad y la propiedad SLD en C(K) en función de dichas nociones topológicas. En el capítulo segundo presentamos un método para construir semi-espacios abiertos que es necesario para poder aplicar el teorema central del capítulo primero. El tercer capítulo está dedicado a aplicaciones. En él se deduce la existencia de renormamientos LUR, por medio de un método unificado, en los siguientes espacios de funciones: C(K) si K es un compacto de Namioka-Phelps (también se incluye el caso de compactos sigma-discretos); C(K) si K es un compacto de Rosenthal separable con la propiedad de que toda función en K tiene a lo sumo una cantidad numerable de discontinuidades; el espacio de funciones continuas que se anulan en el infinito definidas en un árbol Hausdorff T que admite una función creciente y no constante en ningún subconjunto ever-branching de T y que no tiene puntos malos; C(L) si L es un compact