Problemas isoperimétricos en variedades riemannianas

Abstract

EN ESTA TESIS DOCTORAL SE APLICAN TECNICAS GEOMÉTRICAS, ANALÍTICAS Y DE CÁLCULO DE VARIACIONES PARA OBTENER NUEVOS RESULTADOS ACERCA DEL PROBLEMA ISOPERIMÉTRICO DENTRO DE UN DOMINIO DE UNA VARIEDAD RIEMANNIANA, LA TESIS SE DIVIDE EN CINCO CAPÍTULOS. EL PRIMERO ESTÁ DEDICADO A INTRODUCIR AL LECTOR LOS PRERREQUISITOS NECESARIOS EN EL ESTUDIO DE PROBLEMAS ISOPERIMÉTRICOS. EN EL SEGUNDO OBTENEMOS DESIGUALDADES ISOPERIMÉTRICAS PARA EL PERÍMETRO RELATIVO QUE INVOLUCRAN A UNA COTA INFERIOR PARA LA CURVATURA DE RICCI SOBRE UN CONVEXO DE UNA VARIEDAD RIEMANNIANA. EN EL TERCER CAPÍTULO TRATAMOS EL PROBLEMA DE FRONTERA LIBRE EN UN CONO SÓLIDO DEL ESPACIO EUCLÍDEO: OBTENEMOS NUEVOS CRITERIOS DE EXISTENCIA DE REGIONES ISOPERIMÉTRICAS Y CLASIFICAMOS LAS REGIONES ESTABLES Y ACOTADAS PERMITIENDO UN CONJUNTO PEQUEÑO DE SINGULARIDADES EN SU BORDE. EN LA CUARTA PARTE ESTABLECEMOS UNA CONDICIÓN SOBRE UN CUERPO CONVEXO DEL ESPACIO EUCLÍDEO QUE ASEGURA QUE LAS REGIONES MINIMIZANTES BAJO UNA RESTRICCIÓN DE VOLUMEN DEL PERÍMETRO EUCLÍDEO SON CONVEXAS. FINALMENTE ESTUDIAMOS EL PROBLEMA ISOPERIMÉTRICO EN EL GRUPO DE HEISENBERG PROVISTO DE UN FUNCIONAL DE PERÍMETRO SUB-RIEMANNIANO: ESTABLECEMOS UN NUEVO CONCEPTO DE CURVATURA MEDIA PARA SUPERFICIES Y CLASIFICAMOS LAS SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN CON CURVATURA MEDIA CONSTANTE EN ESTE AMBIENTE.