Estudio del infinito actual como identidad cardinal en estudiantes de educación secundaria de 13 a 16 años

Zusammenfassung

El trabajo de investigación que presentamos sobre las capacidades, habilidades y estrategias cognitivas que manifiestan los alumnos y alumnas de 13 a 16 años de edad de Educación Secundaria, ante tareas que requieren la comparación de conjuntos para identificar el infinito actual como identidad cardinal. Proponemos elaborar y contrastar empíricamente dos experiencias: la primera con la ayuda de la experiencia física que pretende simular el modelo de comparación de inclusión de conjuntos, relación parte/todo, y la comparación adoptada por Bolzano; mientras que en la segunda experiencia tratamos un modelo que describa y explique la evolución de dicho tipo de conocimiento mediante la comparación de conjuntos, relación uno-a-uno, elegida por Cantor basada en la biyección entre ellos. Desde el punto de vista teórico, es necesario indagar en los modelos de construcción y elaboración de las comparaciones de los conjuntos finitos-infinitos; en el origen y evolución del infinito desde una postura fenomenológica, epistemológica-histórica, cognitiva y enseñanza-curriculum, para poder crear un marco interpretativo de las comparaciones de conjuntos y de la conceptualización del infinito actual. Con anterioridad, se realiza un estudio exploratorio, con una muestra de 22 estudiantes, donde se analizaron las respuestas mediantes unas tareas de razonamiento del infinito como identidad cardinal en series numéricas con el criterio de comparación uno-a-uno, elegida por Cantor basada en la biyección entre conjuntos. Para ello se construyó un primer modelo teórico evolutivo susceptible de comparación empírica. Las respuestas a las tareas analizadas en ese estudio mostraron existencia de regularidades y la posibilidad de clasificarlas con una cierta evolución de las distintas categorías. Se realiza una ampliación a ese estudio perfeccionando el modelo teórico susceptible de comparación empírica de competencias en el cardinal infinito y se aplica con una muestra de 69 estudiantes de secundaria, categorizando las distintas respuestas y estrategias utilizadas, en diferentes niveles evolutivos con la ayuda de entrevista clínica semiestructurada. Con la ayuda del estudio teórico realizado se realiza, paralelamente al anterior estudio empírico, otro trabajo con la misma muestra de estudiantes, esta vez siguiendo el modelo de inclusión, como método de comparación de conjuntos, de Bolzano. La relación de inclusión en Bolzano enfatiza la relación parte-todo y establece una comparación dentro del propio conjunto. El objetivo en este será corroborar con una experiencia física, espejos paralelos, lo que Waldegg (2005, citado en Fuenlabrada & Amella, 2008) argumenta sobre el criterio de Bolzano que es más ¿intuitivo¿ porque es más cercano a experiencias concretas (finitas) y además ¿menos paradójico¿. La prueba, que consideramos adecuada, es la entrevista clínica semiestructurada. Nos facilita el análisis de respuestas, la categorización y las conclusiones la investigación narrativa con la redacción de microrrelatos. Finalmente, mostramos los aspectos fundamentales del trabajo, haciendo referencia a los objetivos, general y específicos, hipótesis y metodología, exponiendo los estudios en los que nos hemos basado para la confirmación de las hipótesis. Exponemos las conclusiones generales y logros más relevantes y las perspectivas futuras, dejando vías abiertas para la realización de investigaciones que aporten nuevos conocimientos a los logros conseguidos.