Extending the concepts of type-2 fuzzy logic and systems

Resumen

Esta tesis tiene por objetivo contribuir al desarrollo de la teoría de lógica difusa tipo-2 y los sistemas basados en esta. Este planteamiento inicial se pretende conseguir mediante dos contribuciones bien diferenciadas: en primer lugar, se abordará una polémica discusión que ha enfrentado a los estudiosos de la lógica difusa durante años, que pretende arrojar luz sobre el motivo por el cual los sistemas difusos tipo-2 ofrecen mejor rendimiento que los tipo-1. En segundo lugar, se pretende extender y desarrollar la teoría de los conjuntos y los sistemas difusos tipo-2. Los objetivos que esta tesis persigue son los siguientes: 1) Justificar plenamente el uso de la lógica difusa tipo-2 frente a la tipo-1. Que los sistemas difusos tipo-2 ofrecen mejor rendimiento que sus homólogos tipo-1 es un hecho verificado en numerosos estudios; pero el motivo por el que esto ocurre divide a los diferentes autores. La primera parte de esta tesis pretende contribuir a este debate desde un planteamiento novedoso, con intención de justificar plenamente el uso de la lógica difusa tipo-2 en detrimento del tipo-1. 2) Desarrollar y expandir la teoría de conjuntos difusos tipo-2. En la segunda parte de este trabajo, se pretende extender la teoría de los conjuntos difusos tipo-2. Para ello, se plantean dos nuevos teoremas para realizar las operaciones de intersección y unión sobre conjuntos difusos tipo-2 general; posteriormente, los resultados de dichos teoremas se particularizan para una versión más particular de estos conjuntos, denominados “formas generales de conjuntos difusos tipo-2 intervalo” (gfIT2FSs, por sus siglas en inglés). 3) Desarrollar y expandir la teoría relacionada con los sistemas difusos tipo-2 que utilizan conjuntos gfIT2FSs. El desarrollo de los teoremas anteriormente descritos permite, por primera vez, realizar las operaciones de intersección y unión sobre conjuntos tipo-2 generales arbitrarios; más específicamente, permiten operar sobre este tipo de conjuntos cuando sus funciones de pertenencia secundarias son conjuntos no convexos. De esta manera, estos teoremas permiten operar sobre los llamados gfIT2FSs, abriendo toda una rama teórica para desarrollar los sistemas difusos que utilizan estos conjuntos. Dicho desarrollo teórico, así como ejemplos de aplicación en el mundo real, componen el tercer objetivo de este trabajo. Estructura de la tesis. Esta tesis doctoral está dividida en 6 capítulos, agrupados en 4 partes bien diferenciadas. Cada una de las partes, así como el contenido de los capítulos, se resume a continuación: Parte 1: Introducción y fundamentos. El primer capítulo de esta tesis ofrece una revisión histórica de la lógica difusa, que se utiliza como hilo conductor e introductorio de las motivaciones y objetivos que persigue esta investigación; asimismo, se presenta la estructura del documento y un resumen del contenido de cada capítulo. El segundo capítulo presenta de forma ordenada y concisa los principales conceptos relacionados con la lógica y los sistemas difusos, tanto de tipo-1 como de tipo-2, para ofrecer una base de conocimiento suficiente para que el lector pueda comprender el contenido desarrollado posteriormente. Se repasan los conceptos básicos y definiciones relativas a los conjuntos difusos, las operaciones entre ellos y los sistemas matemáticos que los utilizan, en sus versiones tipo-1 y tipo-2. Parte 2: Discusión: ¿está la lógica difusa tipo-2 plenamente justificada? Esta parte, compuesta únicamente por el capítulo 3, profundiza en la discusión académica sobre el motivo por el que los sistemas difusos tipo-2 tienen mejor rendimiento que sus homólogos tipo-1. Numerosos autores sostienen que dicha capacidad reside en el mayor número de parámetros por función de pertenencia de que disponen los sistemas tipo-2, mientras que otros autores sostienen que el motivo no se debe al número de parámetros sino a cómo estos se utilizan para modelar la incertidumbre. Con esta idea en mente, esta tesis pretende arrojar algo de luz sobre si la clave para el mejor rendimiento es el número de parámetros/grados de libertad disponibles en los sistemas difusos; para ello, se propone una metodología comparativa novedosa: dar un paso atrás a los sistemas difusos tipo-1, y comparar sistemas que son totalmente análogos (esto es, que utilizan funciones de pertenencia lineales a trozos) pero que utilizan distintas funciones de pertenencia. Se utilizarán funciones de pertenencia triangulares (tres parámetros) y trapezoidales (cuatro parámetros). Para realizar la comparación, se utilizarán 9 problemas de aproximación funcional clásicos en la literatura. La metodología utilizada para optimizar los sistemas difusos serán los algoritmos evolutivos, tanto de un único objetivo (minimizar el error cuadrático medio) como multi-objetivo (minimizar el error cuadrático medio a la vez que maximizar la interpretabilidad del sistema, minimizando el número de reglas). Los resultados de los algoritmos evolutivos serán sometidos a test estadísticos para determinar si las diferencias son o no estadísticamente significativas. Parte 3: Desarrollo de los conjuntos y los sistemas difusos tipo-2 Esta sección de la tesis tiene por objetivo desarrollar la teoría relacionada con los conjuntos y los sistemas difusos de tipo-2. En el capítulo 4 se demuestran dos nuevos teoremas que realizar las operaciones de unión e intersección sobre conjuntos difusos tipo-2 generales, especialmente cuando estos tienen grados secundarios no convexos. Esta limitación había evitado que estos sistemas hubieran recibido mayor atención por parte de la comunidad investigadora. Además, estos resultados se particularizan para las formas generales de conjuntos difusos tipo-2 intervalo (gfIT2FSs), hallando versiones específicas de los teoremas anteriores para estos conjuntos. Los resultados del capítulo anterior permiten el desarrollo de la teoría de los sistemas difusos que utilizan conjuntos gfIT2FSs, tal y como se presenta en el capítulo 5. En este se revisita la estructura completa de los sistemas difusos gfIT2FLSs, prestando especial atención a los bloques que presentan diferencias significativas con otros sistemas difusos bien conocidos presentes en la literatura: el motor de inferencia (tanto con entradas singleton como non-singleton) y la operación de reducción de tipo, principalmente. Además, se propone un caso ilustrativo para ejemplificar el uso de estos conjuntos y sistemas en el mundo real: modelar la incertidumbre asociada a medidas ruidosas procedentes de un sensor sónar, funcionando en un robot que se desplaza de forma autónoma evitando obstáculos. Parte 4: Conclusiones La cuarta parte cierra esta tesis con el capítulo 6, que contiene un resumen de la tesis, los objetivos alcanzados y propuestas para las líneas de investigación futuras.