Formulación y análisis de un algoritmo de integración temporal conservativo consistente para el problema de contacto

Resumen

En este trabajo se presenta y se analiza la formulación de un nuevo algoritmo de integración temporal conservativo para problemas de contacto. Este algoritmo se ha desarrollado para cuerpos rígidos bajo el método de los elementos discretos, pero es fácilmente aplicable a cuerpos elásticos bajo el método de los elementos finitos. La clave del algoritmo es la conservación de momentos y la conservación disipación consistente de energía para los casos sin y con fricción empleando un método de penalty mejorado como medio para forzar la condición de impenetrabilidad. Para alcanzar este objetivo, se ha partido del estudio en profundidad de los fundamentos de la mecánica hamiltoniana, que han permitido formular y analizar las propiedades conservativas del método de los elementos discretos. Posteriormente, se ha estudiado la mecánica del contacto, haciendo especial hincapié en el estudio de la conservación de momentos y de energía bajo el método del penalty. Las primeras formulaciones de algoritmos de integración temporal aplicados a problemas de contacto se comportaban de manera inestable, experimentando súbitos incrementos , decrementos de energía bajo el método del penalty. Otras formulaciones más recientes evitan incrementos de energía y por tanto consiguen la estabilidad forzando a que la energía se disipe de manera monotónica. El gran inconveniente de todas ellas es su incapacidad de reproducir la cinemática, dinámica y disipación energética de las formulaciones analíticas y de los experimentos. Consecuentemente muestran errores en trayectorias y velocidades. El nuevo algoritmo se formula bajo un marco de ecuaciones de conservación cuyos términos tienen en cuenta la energía disipada por fricción. Este marco fuerza a que la respuesta sea consistente mediante la modificación cinemática y dinámica del contacto, introduciendo disipando energía en los cuerpos y empleando un modelo mejorado del método del Penalty. Este modelo está basado en un resorte elástico y en un amortiguador viscoso que fuerzan manera exacta las condiciones persistente y complementaria de Kuhn Tucker cuando sus parámetros de penalización tienden a infinito. Para probar la eficiencia del nuevo algoritmo, éste ha sido aplicado a varios problemas de cuerpos rígidos con y sin fricción bajo el método de los elementos discretos. Los dos primeros problemas sin fricción consisten en la simulación numérica y comparación analítica del problema de Carom (problema del juego de billar) y del péndulo de Newton. El resto de problemas sin fricción simulan situaciones con un número mayor de contactos y mediante ellos se demuestra la robustez del nuevo algoritmo para conservar la energía y los momentos en situaciones complejas. En el caso friccional se simula, analiza y compara con la formulación analítica disponible la cinemática, dinámica y disipación energética del algoritmo a través de tres problemas sencillos. Finalmente, se procede a la simulación de situaciones friccionales más complejas que son validadas por medio de resultados experimentales.