Bifurcación de soluciones periódicas en el problema de sitnikov

Resumen

En 1960 el matemático ruso K.A. Sitnikov presentó un modelo del problema de tres cuerpos conocido en la actualidad como el \textit{problema de Sitnikov}. Dicho problema considera dos cuerpos con igual masa (masas primarias) que se mueven en un mismo plano alrededor de su centro de masas como soluciones de un problema de dos cuerpos con momento angular no cero. El tercer cuerpo de masa cero se mueve en la recta que pasa por el centro de masas del sistema y es ortogonal al plano de movimiento de las primarias. El problema de Sitnikov se centra en describir las órbitas de movimiento del cuerpo de masa cero (en el capítulo 2 se presenta en detalle este problema). Existen muchos trabajos referidos al problema de Sitnikov, en particular en el trabajo realizado por J. Llibre y R. Ortega en 2008, se aplicó por primera vez una versión del método de continuación global de ceros para funciones dependientes de un parámetro desarrollado por Leray-Schauder (1934), con el fin de obtener familias de soluciones pares y periódicas en el problema de Sitnikov. De forma más precisa, se parte de una solución periódica del problema circular de Sitnikov (cuando la excentricidad \textit{e} de las órbitas de las primarias es cero) y se continúa para valores del parámetro excentricidad no necesariamente pequeños, $e\in \,]0,1[.$ Como parte de los resultados en el trabajo de J. Llibre- R. Ortega se observa la posibilidad de que una rama de soluciones no triviales que emana del problema circular de Sitnikov colisione con la solución trivial en un valor especial de la excentricidad. Es aquí entonces donde se inicia mi proyecto de tesis doctoral, con el objetivo principal de caracterizar estas colisiones con la solución trivial. De esta forma, esta memoria expone el trabajo de investigación realizado acerca de la continuación global de soluciones pares y periódicas del problema de Sitnikov desde la solución trivial y no desde el problema circular como se hace en el trabajo de J.Llibre-R. Ortega. Se hace un análisis local de las bifurcaciones de soluciones periódicas que emanan desde la solución trivial, al igual que el tipo de bifurcación de dichas soluciones, presentamos resultados de estabilidad de las soluciones del problema linealizado de Sitnikov junto a la estabilidad de la solución trivial al igual que un resultado de coexistencia de soluciones para el problema linealizado de Sitnikov por medio del estudio de una ecuación de Ince. Por otro lado, también se presenta una generalización del problema de Sitnikov en donde se consideran más de dos masas primarias moviéndose en un mismo plano. Para este problema generalizado de Sitnikov se tratan las mismas preguntas desarrolladas en el trabajo de J.Llibre-R. Ortega y el trabajo de R. Ortega-A.Rivera en 2010 y se aplican las mismas técnicas utilizadas en estos últimos trabajos para el problema de Sitnikov. Cabe mencionar que en referencia al problema generalizado de Sitnikov que en este trabajo de investigación se considera quedan varias preguntas pendientes las cuales se esperan desarrollar con mayor profundidad en trabajos posteriores.