Ortogonalidad no estandar problemas directos e inversos

Résumé

La tesis está estructurada en siete capítulos, cinco de los cuales (del 2 al 6) constituyen el núcleo principal de la tesis, En ella se realizan diversos estudios que podemos enmarcar dentro de la Teoría General de Polinomios Ortogonales. El capítulo 1 tiene un carácter introductorio a la teoría general de polinomios ortogonales. El capítulo 2 está dedicado al análisis de funcionales lineales semiclásicos y el estudio del problema de simetrización de este tipo de funcionales. En particular, describimos todos los funcionales definidos positivos simétricos semiclásicos de clase 2, que los deduciremos mediante un proceso de simetrización a partir de funcionales semiclásicos de clase 1. En los capítulos 3 y 4 realizamos un análisis de las familias de polinomios ortogonales con respecto a ciertos pares de funcionales sobre los que supondremos que verifican ciertas condiciones que llamaremos de coherencia generalizada. Tales condiciones proporcionan una herramienta útil para el estudio de los polinomios de Sobolev que son ortogonales con respecto al producto escalar de Sobolev definido a partir de dicho par de funcionales. En los capítulos 5 y 6 hacemos una incursión en la teoría de polinomios ortogonales en varias variables, estableciendo las definiciones apropiadas de ortogonalidad y desarrollando una teoría constructiva de los mismos. Concretamente, presentamos una teoría de polinomio ortogonales en dos variables correspondiente al proceso de ortogonalización teniendo en cuenta los órdenes lexicográfico y lexicográfico inverso. Finalmente, en el capítulo 7, exponemos las conclusiones de la memoria de tesis, incluyendo una sección donde planteamos algunos problemas abiertos que han surgido durante su elaboración.