Complexity and entropic uncertainty of quantum systems

Resumen

El estudio de los sistemas cuánticos multidimensionales de muchas partı́culas constituyen un reto de primer orden en Fı́sica Cuántica, debido fundamentalmente a que su comportamiento solo puede determinarse con una capacidad computacional inmensa. Actualmente los fı́sicos tratan de descubrir ideas y técnicas elegantes para simplificar el problema. La complejidad interna de los sistemas cuánticos, la incertidumbre de sus constituyentes más allá de la formulación de Heisenberg (i.e., más allá de la desviación tı́pica asociada a las densidades de probabilidad monoparticulares de posición y momento) y la dimensionalidad de los correspondientes espacios de configuración son el leit motiv de esta Tesis. Los sistemas cuánticos de muchas partı́culas no son meramente complicados en el sentido en el que lo es una máquina, sino que son intrı́nsicamente complejos en el sentido de que son fundamentalmente diferentes a cualquier producto de diseño. La cuestión fundamental es encontrar cuantificadores que sean capaces de capturar la idea intuitiva de que la complejidad se encuentra comprendida entre el orden perfecto y el desorden total [1, 2]. La formalización de esta intuición es una tarea no-trivial. Lo más probable es que no pueda llevarse a cabo matemáticamente mediante un único cuantificador debido a las muchas facetas que tiene el término complejidad. En base a la Teorı́a de la Información [3, 4] y la Teorı́a Funcional de la Densidad [5, 6], se han propuesto varias medidas dependientes de la densidad, computables y operacionalmente significativas, para la complejidad intrı́nseca de los sistemas electrónicos: las medidas de entropı́a y complejidad de la densidad de probabilidad monoparticular del sistema. Las primeras (información de Fisher, entropı́a de Shannon) capturan una sola faceta macroscópica del desorden interno del sistema. Las últimas capturan dos o más facetas macroscópicas de la densidad de probabilidad cuántica que caracteriza al sistema, siendo las más relevantes hasta ahora las medidas de complejidad de tipo Cramer-Rao, Fisher-Shannon y LMC (López-Ruiz-Mancini-Calvet), que están compuestas por dos factores entrópicos [7]. La incertidumbre cuántica no es propiamente un error. Werner Heisenberg (NP 1932) en un artı́culo seminal [8] usó el término error medio para las incertidumbres en los espacios de posiciones y momentos, una terminologı́a que evoca la teorı́a de errores y la desviación estándard. No obstante, Heisenberg eligió la desigualdad de Kennard [9], ∆x ∆p ≥ 1/2 (en unidades naturales con ~ = 1), como la expresión matemática precisa del principio de incertidumbre [10] para sistemas cuánticos monodimensionales y, salvo unas pocas voces disidentes, la comunidad fı́sica lo ha aceptado ası́ hasta muy re- cientemente. Pero considerar la desigualdad de Kennard como una expresión adecuada del principio de incertidumbre es sólo otro remanente de los viejos tiempos de la teorı́a cuántica. Hoy en dı́a tenemos funcionales entrópicos de las densidades de probabilidad de posiciones y momentos, tales como e.g. las entropı́as de Fisher, Rényi y Shannon, las cuales son medidas de incertidumbre mucho más adecuadas para formalizar matemáticamente el principio de incertidumbre de Heisenberg de la Fı́sica Cuántica. La dimensionalidad espacial D es una variable fundamental en el análisis de la estructura y la dinámica del los sistemas y fenómenos cuánticos. Básicamente esto se debe a que las funciónes de onda (o sea, las soluciones fı́sicas de la ecuaciónes de onda cuánticas de tipo Schrödinger, Dirac,...), y consecuentemente todos las propiedades fı́sico-quı́micas de estos sistemas dependen crucialmente de la dimensionalidad [11]. Además, D es la variable básica de una estrategia muy útil, el método de escalamiento D-dimensional, que Dudley Herschbach (NP 1986) et al. [12, 13, 14] han desarrollado para estudiar los sistemas atómicos y moleculares. Este método requiere resolver un problema finito de muchos electrones en el lı́mite (D → ∞) y despues usar la teorı́a de perturbaciones en 1/D para tener un resultado aproximado en la dimensión estándar (D = 3); los resultados obtenidos presentan, en ocasiones, una exactitud cuantitativa comparable a los cálculos auto-consistentes de Hartree-Fock. Estas ideas están siendo utilizadas para estudiar numerosos sistemas y fenómenos fı́sicos desde los fluidos reales [15, 16] y los cristales de iones coulombianos (i.e., estructuras ordenadas de iones atómicos y moleculares confinados en trampas iónicas a temperaturas cercanas al cero absoluto) [17] hasta la criticalidad cuántica [18, 19]. Además, se ha probado recientemente que la dimensionalidad espacial es un recurso fı́sico-tecnológico en la ciencia y las tecnologı́as de la información cuántica [20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27]. Actualmente existe un creciente interés en la dependencia con la dimensionalidad de las propiedades entrópicas de los estados estacionarios de los sistemas cuánticos multidimensionales [1, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37] con el fin de contribuir a la emergente representación informacional de los sistemas cuánticos que extiende y complementa la representación energética estándar. A este respecto, ha de tenerse presente que las propiedades entrópicas no dependen de los autovalores de la energı́a sino de las autofunciones de los estados del sistema. El objetivo de esta Tesis es doble: el análisis de la incertidumbre entrópica en los sistemas Coulombianos y armónicos, y la cuantificación de la complejidad de los sistemas de muchas partı́culas. Esta última tarea está estrechamente relacionada con la evolución del orden al desorden que es un desafı́o cientı́fico de primer nivel en la teorı́a de los sistemas complejos [1, 2, 38, 39, 40]. En esta disertación, primero proponemos nuevas medidas de complejidad multiparamétrica que extienden y generalizan las medidas de complejidad conocidas. Después calculamos analı́ticamente y discutimos numéricamente estos cuantificadores de la complejidad y las medidas de incertidumbre entrópica en varios fenómenos y sistemas cuánticos multidimensionales, tales como la radiación de cuerpo negro en universos de dimensionalidad estándar y no-estándar y los sistemas hidrogenoideos y armónicos multidimensionales, que son los sistemas de referencia en la fı́sica D-dimensional coulombiana y armónica, respectivamente. Se hace énfasis en la determinación analı́tica de los cuantificadores teórico-informacionales de los estados estacionarios extremos de alta energı́a (Rydberg) y de alta dimensionalidad (pseudo-clásicos), cuyo cálculo numérico es una tarea computacional prácticamente imposible. La metodologı́a de la Tesis incluye una gran diversidad de métodos procedentes de la Teorı́a de la Información Clásica y Cuántica [3, 4, 30, 41, 42] y de la Teorı́a de la Probabilidad [43], ası́ como de técnicas algebráicas y asintóticas de la Teorı́a de Aproximación y de la teorı́a de los polinomios ortogonales [44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55], los armónicos hiperesféricos [37, 56, 57, 58] y otras funciones especiales de la Matemática Aplicada y la Fı́sica Matemática [46, 59]. La estructura de la Tesis, que se presenta en la modalidad de agrupamiento de publicaciones, se compone de dos partes y siete capı́tulos que son autocontenidos en gran medida. La Parte I, que contiene los capı́tulos 1, 2 y 3, está dedicada a las medidas de incertidumbre entrópica de los sistemas armónicos y coulombianos. La Parte II, que abarca los capı́tulos 4, 5, 6, y 7, está dedicada a las medidas de complejidad multiparamétricas y su apli- cación a la distribución de Planck generalizada y a los sistemas armónicos e hidrogenoideos. Finalmente, se dan algunas conclusiones y se señalan algunos problemas abiertos de forma no-exhaustiva. El capı́tulo 1 tiene carácter metodológico. En él se describen (i) las nociones básicas de dispersión y entropı́a de distribuciones de probabilidad contı́nuas multidimensionales que se usan en esta disertación (ver sección 3.1), (ii) varios teoremas y proposiciones matemáticas que describen la asintótica en el grado y en el parámetro de distintos funcionales entrópicos de los polinomios hipergeométricos ortogonales que controlan las funciones de onda de los sistemas coulombianos y armónicos analizados en este trabajo (ver sección 1.2), y (iii) los métodos de linealización de tipo Srivastava para las potencias de estos polinomios (ver sección 1.3) que serán después usados para la determinación de las medidas de incertidumbre entrópicas de tipo Rényi. El capı́tulo 2 está dedicado a la determinación analı́tica y discusión de las entropı́as de Rényi y Shannon para los estados estacionarios discretos de los sistemas hidrogenoideos multidimensionales, haciendo hincapié en dos tipos de estados extremos: los estados altamente excitados (Rydberg) y los estados de gran dimensionalidad (pseudoclásicos). En el capı́tulo 3 se lleva a cabo un trabajo similar para los sistemas armónicos multidimensionales. El capı́tulo 4 tiene un carácter descriptivo. En él se hace un breve resumen de las principales medidas de complejidad de densidades de probabilidad continuas multidimensionales de dos factores usadas en la literatura, las cuales han sido aplicadas en estructura electrónica para interpretar un gran número de fenómenos mecano-cuánticos de los sistemas atómicos y moleculares [1]. Se describen también las generalizaciones de estas medidas, ası́ como sus propiedades de tipo desigualdad. En el capı́tulo 5 introducimos tres medidas de complejidad biparamétricas para densidades de probabilidad generales y discutimos sus propiedades fundamentales. Después las aplicamos a la distribución de Planck generalizada que caracteriza el espectro de frecuencias de la radiación del cuerpo negro en universos de dimensionalidad estándar y no estándar. En el capı́tulo 6 presentamos la noción y las propiedades de un nuevo tipo de distribuciones escort para densidades de probabilidad univaluadas, las distribuciones escort-diferenciales, que presentan ciertas ventajas con respecto a las escort estandar. Después mostramos su utilidad para probar la propiedad de monotonicidad de la medida de complejidad de LMC-Rényi y analizamos su comportamiento para distribuciones generales en los dos casos extremos de mı́nima y muy alta complejidad. En el capı́tulo 7 introducimos la medida de complejidad de Fisher-Rényi triparamétrica para una densidad de probabilidad univaluada ρ. Esta nueva medida cuantifica el balance combinado del esparcimiento y el contenido en gradiente de ρ, y tiene las tres propiedades principales de una medida de complejidad estadı́stica: la invarianza bajo transformaciones de escala y traslación y una cota mı́nima universal. Para ello ha sido necesario la uti- lización de la desigualdad de Gagliardo-Nirenberg con el fin de extraer una generalización de la desigualdad de Stam, ası́ como la noción de transformación escort-diferencial, que ha sido la clave fundamental para obtener la expresión de las densidades minimizantes y el valor exacto de la cota óptima. Los resultados principales de la Tesis se describen en los capı́tulos 2 y 3 de la Parte I, ası́ como en los capı́tulos 5, 6 y 7 de la Parte II. Tales resultados han dado lugar, tal como se detalla en el apartado Author’s Publications, a dos preprints y ocho artı́culos publicados en las revistas: Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, Entropy (2), International Journal of Quantum Chemistry, Journal of Mathematical Physics, Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, European Physical Journal-Special Topics. Otra publicación del autor, relacionada con los tópicos de esta Tesis pero no incluida en ella, ha aparecido publicada en la revista Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, tal como se menciona tambien en el apartado Author’s Publications. References [1] K. D. Sen, editor. Statistical Complexities: Application to Electronic Structure. Springer, Berlin, 2012. [2] R. Tan, D. R. Terno, J. Thompson, V. Vedral, and M. Gu. Towards quantifying complexity with quantum mechanics. European Physical Journal Plus, 129:1–10, 2014. [3] T. M. 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