Caracterizaciones de la reflexividad

Resumen

La reflexividad de un espacio de Banach ha sido una propiedad bien estudiada, ya que juega un importante papel en varios aspectos del Análisis Matemático, Uno de los resultados más importantes sobre esa materia es el Teorema de James que, particularizado al caso de la bola unidad, afirma que un espacio de Banach es reflexivo si todo funcional lineal y continuo alcanza la norma. El objetivo fundamental de la memoria es considerar la posible validez de una serie de resultados tipo James. Presentamos en el primer capítulo las propiedades geométricas y herramientas fundamentales que usamos a lo largo de la memoria, incluyendo algunas aplicaciones novedosas. En el segundo capítulo, se citan varios precedentes de los resultados que más tarde se abordaran. Por ejemplo, si un espacio de Banach tiene bola unidad no dentable, entonces el conjunto de los funcionales que alcanzan la norma (conjunto de Bishop-Phelps) es de primera categoría (Bourgain-Stegall). Además planteamos el problema de la posible validez de una versión más general del Teorema de James cuando se exige únicamente que haya un abierto de funcionales que alcanzan la norma. A plena generalidad, esta pregunta tiene respuesta negativa. De hecho, en el Corolario 2.4 probamos que todo espacio de Banach puede renormarse para que el conjunto de los funcionales que alcanzan la norma (conjunto de Bishop-Phelps) tenga interior no vacío. Sin embargo, demostramos que un espacio de Banach separable es reflexivo si admite una norma equivalente muy suave para la cual el conjunto de Bishop-Phelps contiene una bola. Finalizamos el segundo capítulo presentando un resultado de renormación para obtener interior vacío del conjunto de los funcionales que alcanzan la norma, exigiendo separabilidad y ausencia de complitud secuencial débil. En el tercer capítulo afinamos las técnicas del capítulo segundo, eliminamos la separabilidad, relajamos las condiciones de