Medidas de información de funciones especiales y sistemas mecano-cuánticos, y dinámica molecular en presencia de campos eléctricos homogéneos y dependientes del tiempo

Resumen

Esta tesis es una contribución multidisciplinar a la teoría de funciones especiales (ver Parte I: Funciones especiales y teoría de la información), a la teoría de la información de los sistemas cuánticos (ver Parte II: Mecánica cuántica y teoría de la información, Relaciones de incertidumbre), y a la física molecular (ver Parte III: Dímeros alcalinos en campos eléctricos). En la Parte I, que está conformada por tres capítulos, se investigan varias medidas de información de las soluciones de ecuaciones diferenciales de tipo hipergeométrico e hipergeométrico generalizado. Entre las citadas soluciones se encuentran un gran número de funciones especiales de la matemática aplicada y de la física matemática, que aparecen de forma natural en la formulación matemática de una gran cantidad de problemas físicos. Se calcula la información de Fisher y las entropías de Shannon, Rényi y Tsallis, que cuantifican de forma complementaria el esparcimiento de estas funciones de un modo más apropiado que la varianza. Además, se consideran otras medidas de información, como los planos y los productos de información, que combinan dos de las medidas de esparcimiento ya citadas. El Capítulo 1 introduce los elementos fundamentales de la teoría de la información que se usarán en las dos primeras partes: las medidas teóricas de información, tales como e.g. la entropía de Shannon, y la información de Fisher. Además, se mencionan algunas de sus propiedades y, en particular, las relaciones de incertidumbre que satisfacen. El Capítulo 2 aborda el cálculo analítico de la información de Fisher de las densidades de probabilidad, asociadas a las soluciones de ecuaciones diferenciales de tipo hipergeométrico e hipergeométrico generalizado, a partir de los valores esperados de los coeficientes de dichas ecuaciones diferenciales. Este estudio se hace de forma general para cualquier ecuación y posteriormente se presentan casos concretos con el fin de ilustrar esta técnica. El Capítulo 3 presenta dos nuevas medidas de información: el plano de Cramer-Rao, en el cual se representan la información de Fisher y la varianza, y el producto de Cramer-Rao, consistente en el producto de estas dos medidas de esparcimiento. Las tres familias de polinomios clásicas, i.e. Hermite, Laguerre y Jacobi, se estudian en el marco de estas nuevas medidas de información. La Parte II de la Tesis, que consta de los capítulos 4 al 6, aborda el cálculo de las distintas medidas de información de sistemas mecano-cuánticos realistas, encontrándose nuevas relaciones de incertidumbre y cotas a magnitudes físicas relevantes como la propia información de Fisher o la energía cinética. Además, en el segundo y tercer capítulo de esta parte se hace hincapié en los sistemas sometidos a potenciales centrales, entre los que se incluyen todos los sistemas de dos cuerpos cuya interacción depende únicamente de la distancia entre los mismos, como es el caso del átomo hidrogenoide; o sistemas prototípicos clave en el desarrollo de la mecánica cuántica y con multitud de aplicaciones, como es el oscilador armónico. El Capítulo 4 plantea el cálculo de la entropía de Shannon y la información de Fisher de la densidad de probabilidad mecano-cuántica de una partícula en un potencial central lineal monodimensional. Mientras la información de Fisher se calcula de forma analítica para todos los estados del sistema, para la entropía de Shannon se halla su comportamiento asintótico en el límite de los estados altamente excitados. En el Capítulo 5 se aborda el problema general del cálculo de la información de Fisher para sistemas centrales en espacios de dimensionalidad arbitraria. Se encuentran expresiones cerradas de la información de Fisher en los espacios de posiciones y momentos en términos de los valores esperados radiales de la densidad de probabilidad y se halla una relación de incertidumbre basada en estas medidas de información. Esta relación es comparable a la relación de incertidumbre entrópica de Bialynicki-Birula y Mycielski basada en la entropía de Shannon, y a la relación de incertidumbre de Heisenberg basada en la varianza, la cual, además, se consigue mejorar para estos sistemas. En el Capítulo 6 se continúa el estudio de los sistemas centrales de dimensionalidad arbitraria, centrándose en la acotación de la energía cinética de sistemas monoparticulares por medio de algunos valores esperados radiales de posición. Finalmente, habida cuenta de la reciprocidad entre los espacios de posiciones y momentos, se pueden definir cotas similares para la susceptibilidad diamagnética a partir de las cotas a la energía cinética. En la tercera y última parte de esta tesis, que consta de los capítulos 7 y 8, se estudia de la dinámica rotacional de las moléculas diatómicas heteronucleares bajo la acción de campos eléctricos externos homogéneos y variables con el tiempo. En los últimos años, el análisis teórico y experimental de moléculas ultrafrías, tanto de sus propiedades como de su producción, se ha convertido en una piedra angular de la moderna física molecular. El tratamiento de estos sistemas en presencia de campos externos requiere una atención especial. Estos campos permiten atrapar, enfriar y manipular el sistema, modificando simultáneamente de forma significativa su estructura interna. Este trabajo es una contribución al análisis teórico del control de los movimientos rotacional y vibracional por medio de campos eléctricos dependientes del tiempo. El Capítulo 7 es meramente descriptivo e incluye las herramientas teórico-computacionales necesarias para este trabajo. En él se deriva el Hamiltoniano que gobierna el movimiento rovibracional de un dímero polar en presencia de dichos campos eléctricos, y se indican las aproximaciones realizadas; en particular la de Born-Oppenheimer, que permite separar el movimiento electrónico del nuclear. Además, se exponen las aproximaciones del rotador rígido y el rotador efectivo al Hamiltoniano que describen la acción del campo en la dinámica rotacional de aquellos sistemas que se pueden considerar como rígidos. Se concluye describiendo brevemente la técnica computacional híbrida empleada para llevar a cabo la evolución temporal, que combina el método de división del operador evolución o método del split-operator, la transformada de Fourier rápida, y las representaciones de variable discreta y de base finita. En el Capítulo 8 se discuten y analizan los resultados obtenidos para la molécula de LiCs sometida a una combinación de campos eléctricos dependientes del tiempo. En primer lugar, el campo solo tiene componente en el eje z del sistema de referencia del laboratorio, y se lleva a cabo un encendido y apagado exponencial del mismo. Se realiza un detallado análisis de la dinámica rotacional en los regímenes de intensidad constante y post-pulso, al variar los tiempos característicos de este proceso. En particular, se ha demostrado que es posible predecir de forma robusta el número de estados pendulares o de ondas parciales necesarios para describir correctamente la dinámica rotacional en estos dos regímenes. Sin embargo, una vez que el campo ha sido apagado, la contribución específica de cada estado rotacional es muy sensible a los tiempos de encendido y apagado. El paquete de ondas final muestra una gran variedad de fenómenos de localización y orientación molecular. Estos efectos son periódicos en el tiempo, y su periodo es una fracción del periodo rotacional molecular. En segundo lugar, tras encender la componente z del campo, éste se rota hacia el eje x manteniendo siempre la intensidad constante, y finalmente se apaga. Se ha investigado la variación de la dinámica rotacional con la duración de la rotación, centrando nuestra atención en la posibilidad de transferir población a estados con número cuántico magnético no nulo. Se ha mostrado que la contribución de esos niveles es significativa solo si la rotación es no-adiabática, i.e. su duración ha de ser inferior al periodo rotacional de la molécula. De hecho el régimen adiabático se alcanza para giros de duración igual o superior a un periodo rotacional. Finalmente, se ha analizado también el efecto de la rotación del campo sobre los fenómenos de localización y orientación del paquete de ondas final.