Método de aproximación catenaria para la obtención de densidades de fuerza en estructuras tensadas y antifuniculares

Resumen

A diferencia de las estructuras tradicionales, en las que la disposición y dimensiones de los elementos son datos conocidos en la etapa de cálculo estructural, en las estructuras tensadas y antifuniculares, la geometría es otra incógnita más del problema. En estos casos es necesario calcular la forma geométrica que cumple con la ausencia completa de momentos flectores en toda la estructura: la configuración de equilibrio. Este trabajo de investigación describe una nueva metodología para resolver un problema típico en el diseño de estructuras tensadas y antifuniculares: cómo obtener una configuración de equilibrio partiendo de condicionantes geométricos iniciales. En los años 70 se introdujo el Método de Densidad de Fuerzas -FDM (Force Density Method) para la búsqueda de la configuración de equilibrio, método que hoy en día sigue utilizándose con éxito tanto en las estructuras tensadas como en las antifuniculares. Se introduce el concepto de densidad de fuerza definiéndolo como el cociente entre la tensión y la longitud de cada elemento o rama del mallado estructural. Para cada conjunto de densidades de fuerza escogido, el FDM permite plantear un sistema de ecuaciones cuya resolución aporta una configuración de equilibrio. De esta forma, el método no resulta directo sino que debe resolverse mediante iteraciones, ensayando con diferentes valores de densidades de fuerza hasta obtener la geometría deseada. Este problema presenta aún mayor dificultad en las estructuras antifuniculares y en aquellas estructuras tensadas en las que es necesario considerar el peso propio. En estos casos el sistema de ecuaciones del FDM pierde su linealidad, lo que significa que, para determinadas elecciones de densidades de fuerza, no existirá una solución al problema. En esta investigación, a través del que hemos denominado Método de Aproximación Catenaria -MAC, se ofrece una herramienta para la obtención de densidades de fuerza a partir de valores geométricos del diseño inicial. El método consiste en aproximar las secciones transversales de las configuraciones de equilibrio a la forma de la catenaria. Al ser esta curva la solución de la configuración de equilibrio de un cable, es evidente que un mallado tridimensional de cables, como modelo adoptado para la estructura, adoptará secciones transversales próximas a la misma, y de manera análoga ocurrirá con estructuras sometidas a compresión simple en todos sus elementos. La ventaja de realizar esta aproximación, radica en que el problema de la catenaria fue resuelto en el siglo XVII, quedando completamente definida su ecuación matemática. Partiendo de datos como la altura de una cúpula o de una bóveda antifunicular, o la flecha máxima de una cubierta colgante pesada, medidas en una sección transversal del diseño, es posible hallar la curva catenaria que aproxime estas formas geométricas. Posteriormente, tras un procedimiento de calibración en base a las características de los materiales y la estructura del mallado, se pueden obtener las densidades de fuerza de los elementos de dicha sección que proporcionan una configuración de equilibrio próxima al diseño inicial. De esta forma el cálculo de la forma de equilibrio resulta directo y de menor complejidad. CONCLUSIONES: La complejidad que presenta el diseño de estructuras sin flexión y la dificultad para ajustarlas a las características del diseño, lleva a la búsqueda de estrategias que simplifiquen el procedimiento. El MAC es una nueva herramienta que permite al diseñador conseguir configuraciones de equilibrio sin flexión que cumplan determinados condicionantes geométricos. Permite relacionar las densidades de fuerza con características geométricas del diseño. Tras un análisis detallado del diseño de estructuras sin flexión, se ha propuesto un algoritmo que presenta interesantes ventajas frente a otras técnicas: 1. Es un procedimiento de formulación sencilla, lo que conlleva un bajo coste computacional. 2. Se elimina la discrecionalidad del procedimiento permitiendo su implementación en el mismo programa informático que desarrolle el TM-FDMA. 3. Aunque se trata de un método aproximado, admite una aplicación iterativa y cada ciclo mejora el resultado anterior. Esto permite con pocas iteraciones obtener la configuración de equilibrio deseada, cumpliendo los condicionantes de diseño. Es decir, la aplicación del método de forma iterativa hace converger la configuración de equilibrio al diseño establecido. Finalmente, el algoritmo propuesto ha sido testado convenientemente mediante su aplicación a diversas tipologías estructurales, con características y dimensiones muy diferentes, obteniendo resultados totalmente satisfactorios. En el desarrollo de la investigación se ofrecen además las siguientes aportaciones que pueden resultar de interés en este campo del diseño de estructuras tensadas y antifuniculares: 1. Se ha realizado un completo estudio de los métodos de cálculo de configuraciones de equilibrio en el marco de las técnicas de optimización estructural. Pese a la abundante bibliografía consultada en relación a los métodos de optimización, no se han encontrado referencias que vinculen claramente el diseño de estructuras sin flexión con estos métodos. Por otra parte, los trabajos relacionados con el diseño de estructuras sin flexión, se ciñen generalmente al campo de las estructuras tensadas o al de las de compresión, pero de forma independiente. Sin embargo, considerando que ambas comparten los mismos métodos de cálculo en fase de diseño, sería lógico que estos trabajos abarcasen ambos campos. En esta investigación se ha realizado un esfuerzo para aclarar este aspecto y presentar una clasificación completa que incluya el diseño de estructuras sin flexión, tensadas y antifuniculares, como una rama de la optimización por criterios. 2. Se han analizado las ventajas y los inconvenientes de los diferentes métodos de búsqueda de configuraciones de equilibrio al objeto de facilitar al diseñador la elección del método más apropiado. Al mismo tiempo, este análisis ha servido para justificar la elección del FDM como método más apropiado para el desarrollo de este trabajo. Conviene aclarar que el MAC no es en sí mismo una técnica de obtención de configuraciones de equilibrio sino un complemento que permite ajustar los resultados al diseño original. Para desarrollar esta idea y aplicarla a casos concretos se ha escogido el TM-FDMA, una variante del FDM que permite considerar el peso propio de las estructuras e incorpora una herramienta de mallado a partir de la topología del diseño. 3. La elección de densidades de fuerza adquiere un papel fundamental en las formas de equilibrio obtenidas mediante el TM-FDMA. Partiendo de unas condiciones de contorno definidas, este parámetro se convierte en la principal herramienta para modificar la forma de equilibrio. Pero no resulta fácil relacionar el valor de la densidad de fuerzas de determinados elementos con la forma geométrica que se busca. Por este motivo, se ha realizado una análisis detallado de las densidades de fuerza y de su influencia en las formas de equilibrio. Por otra parte, se han establecido técnicas de agrupamiento de densidades de fuerza para facilitar la convergencia del TM-FDMA y la corrección de las formas obtenidas. 4. Se realiza un planteamiento del diseño de estructuras sin flexión desde un punto de vista práctico, mostrando la problemática para ajustar las configuraciones de equilibrio a los valores geométricos del diseño. Con el MAC se muestra un camino directo a la obtención de formas de equilibrio sin flexión. Hasta ahora, el diseño de estas estructuras requería un proceso de tanteo necesario para conseguir unas proporciones geométricas determinadas. Pero la técnica propuesta logra que esta estrategia pueda realizarse directamente mediante sistemas informáticos, a través su implementación en algoritmos de búsqueda de forma. 5. A través de la aplicación del MAC a casos concretos se han aclarado algunos aspectos que pueden resultar de interés en este campo de investigación. El método propuesto aproxima un problema no lineal de tres dimensiones a través de su descomposición en uno o varios problemas bidimensionales. Esto permite calcular las densidades de fuerza del problema bidimensional para aplicarlas al problema completo. Pero en este proceso cabe preguntarse si conviene alterar también otras densidades de fuerza que no intervienen en el problema bidimensional. Al aplicar el MAC a redes cerradas, tipo cúpula, se ha comprobado cómo se obtiene una mejor aproximación alterando únicamente las densidades de fuerza de las ramas radiales. A partir de esta comprobación, en el resto de ejemplos estudiados, se ha adoptado el criterio de alterar únicamente las densidades de fuerza que intervienen en el problema bidimensional, obteniendo resultados muy satisfactorios. Una mala aproximación del método puede justificarse por una fuerte influencia de densidades de fuerza no consideradas en el problema bidimensional. El caso de los arcos torales de las cúpulas de base cuadrada es un claro ejemplo de ello. En la altura de estos arcos influyen las densidades de fuerza de las ramas radiales y anulares. Sin embargo, el problema bidimensional sólo tiene en cuenta las ramas del último anillo del mallado. Pero, aún en estos casos en los que existe una peor aproximación del método, se ha comprobado como la aplicación iterativa permite alcanzar el objetivo en muy pocos pasos.