Algunas propiedades de los estados estacionarios de sistemas disipativos sencillos
- Antonio Prados Montaño Director/a
- Pablo Ignacio Hurtado Fernandez Codirector
Universidad de defensa: Universidad de Granada
Fecha de defensa: 14 de marzo de 2014
- Luis López Bonilla Presidente/a
- Arturo Moncho Jordá Secretario
- Álvaro Domínguez Álvarez Vocal
- María Isabel García de Soria Lucena Vocal
- Pedro Luis Garrido Galera Vocal
Tipo: Tesis
Resumen
En esta Tesis doctoral se han estudiado las propiedades estadísticas tanto a nivel de promedios como a nivel fluctuante, de una clase general de modelos disipativos de red sencillos que son una extensión del llamado modelo KMP que Kipnis, Marchioro y Pressutti, propusieron en 1982 [1]. Dada la simplicidad del modelo, se puede tratar analíticamente y se demostró la ley de Fourier rigurosamente en ese mismo artículo. Más recientemente, este modelo ha sido un campo de pruebas para las nuevas hipótesis y teorías que se han presentado en los últimos años. El interés de la generalización presentada aquí surge del hecho de que muchos de los sitemas existentes en la naturaleza son intrínsecamente disipativos, y necesitan por tanto de un mecanismo de inyección de energía para mantener un estado estacionario. La mecánica estadística de equilibrio está bien establecida desde hace más de un siglo. Con ella se consiguen extraer las propiedades macróscopicas de los sistemas en equilibrio, esto es, sus potenciales termodinámicos a partir de su dinámica microscópica. La mecánica estadística de equibrio tiene una sistemática y unos principios bien establecidos, tanto físicos como matemáticos [2]. La teoría de las grandes desviaciones formaliza matemáticamente la mecánica estadística del equilibrio [3]. Por el contrario, para la mecánica estadística de sistemas fuera del equilibrio no existe una formulación completa y general. En los últimos treinta años una serie de resultados han aportado una nueva ventana de compresión para este tipo de sistemas. Los teoremas de fluctuación [4, 5], y las relaciones de simetría tipo Gallavotti- Cohen [6] y su generalización con el teorema isométrico de fluctuaciones [7] han abierto una puerta a la obtención de resultados para estados estacionarios de sistemas fuera del equilibrio bajo condiciones muy generales. Además, los trabajos de Derrida y colaboradores [8, 9] y Bertini y colaboradores [10] han propuesto un marco general para el estudio de las fuctuaciones de observables macroscópicos de los estados estacionarios de los sistemas fuera del equilibrio. Si a esto le añadimos el desarrollo de nuevos métodos computacionales para lograr aumentar la estadística de los eventos raros de los observables de los sistemas [11, 12], tenemos los ingredientes necesarios para abrir la esperanza del desarrollo de una teoría general para los estados estacionarios de los sistemas fuera del equilibrio. Desde el trabajo pionero de Einstein [13] en 1905, está bien establecido que las propiedades de trasporte macroscópicas de los sitemas son un reflejo de las fluctuaciones que ocurren en el. En la introducción motivamos este punto, y mostramos como, posteriormente, Lev Landau generalizó este aspecto [2]. Toda esta teora se desarrollo para fluctuaciones peque~nas en torno al equilibrio, y su respuesta a una perturbación respecto de este. Dado que la mecánica estadística de equilibrio puede formularse en el marco matemático de las grandes desviaciones, en el capítulo dos mostramos un resumen intuitivo de esta teoría, incidiendo en las similitudes y diferencias entre las propiedades físicas de los sistemas en equilibrio y fuera del equilibrio. Se espera por tanto que, en la teoría de las grandes desviaciones, se pueda obtener un marco o teoría general para el estudio de los sistemas de muchas partículas [8] fuera del equilibrio, al menos para los estados estacionarios. En este sentido, se sabe que muchos de los observables de interés cumplen un principio de grandes desviaciones [3]. La función que describe el comportamiento de las fluctuaciones y que en equilibrio se reduce a los potenciales termodinámicos, es la función de grandes desviaciones (LDF). Bertini y colaboradores [10] han desarrollado una potente teoría para la caracterización de las LDFs de las fluctuaciones macroscópicas de los observables físicos, para sistemas que pueden ser descritos a partir de ecuaciones hidrodinámicas fluctuantes. Esta teoría denominada Teoría de las Fluctua- ciones Macroscópicas (MFT) es una extensión de la de Onsager-Machlup para las fluctuaciones no demasiado lejos del equilibrio [14]. En este capítulo repasamos el trabajo existente a este respecto, realizado por P. Hurtado y colaboradores, para sistemas difusivos conservativos [15]. En el capítulo 3, comenzamos a desarrollar todo el trabajo original realizado para la obtención de esta tesis. El modelo KMP es un modelo de red, que cosiste en asignar a cada sitio una energía determinada, y dejar el sistema evolucionar mediante la colisión de pares de próximos vecinos que pueden intercambiar energía mediante una regla de colisión estocástica sencilla. Para la evolución, cada par es escogido completamente al azar, además los extremos pueden o no estar conectados a dos reservorios. En concreto, nosotros proponemos una extensión al caso disipativo del modelo de KMP, así como su generalización para frecuencias de colisión dependientes algebraicamente de la energía del sitio de red. En nuestra clase general de modelos, se le asigna a las colisiones un coeficiente microscópico de disipación, que da cuenta de la energía que disipa en cada colisión, y es análogo al coeciente de restitución que aparece en la descripción de los medios granulares [16]. Utilizando la aproximación de equilibrio local [17] podemos obtener ecuaciones mesoscópicas cerradas para los estados estacionarios de nuestra clase general de modelos. Esta hipótesis consiste en cosiderar que en la escala de tiempo microscópica (rápida) del sistema, localmente el sistema alcanza el equilibrio en unas pocas colisiones, mientras que en la escala mesoscópica del sistema (lenta) el sistema se encuentra en un estado estacionario fuera del equilibrio debido a la estructura espacio-temporal de los campos hidrodinámicos. Observamos que los gradientes en el sistema estan controlados por la disipación en el seno del mismo. Comprobamos la bondad de dichas hipótesis en nuestra clase general de modelos, obteniendo los distintos coecientes de transporten que determinan el comportamiento macroscópico de los estados estacionarios del sistema. En el capítulo 4, describimos las propiedades de los ruidos del sistema a escala mesoscópica, conectándolos con la estocasticidad de la dinámica microscópica del sistema. Observamos que la influecia del ruido provocado por la disipación es despreciable comparada con la de la corriente. Encontramos una relación de fluctuación-disipación que esperamos que sea valida mientras la inelasticidad microscópica sea pequeña, así como una ley de Fourier fluctuante. Por consiquiente, logramos describir la hidrodinámica fluctuante de nuestra clase general de modelos, así como sus coecientes de transporte, que sumados a las condiciones de contorno apropiadas nos proporcionan una descripción completa del comportamiento del sistema. El capítulo 5 está dedicado al estudio de las fluctuaciones tanto pequeñas, como arbitrariamente grandes del observable energía disipada integrada en el tiempo y en el espacio. Para calcular su función de grandes desviaciones proponemos un funcional basado en la MFT, dado que el ruido de la disipación es subdominante, que es igual al del caso conservativo. Además, usamos el llamado Principio de Aditividad que nos dice que los perfiles óptimos, que son los que adopta el sistema para facilitar una fluctuación dada, son independientes del tiempo [9]. Obtenemos mediante el problema variacional asociado las ecuaciones para estos perfíles óptimos asociados a las fluctuaciones de interés, así como el espectro completo de estas. Para simplicar la resolución del problema variacional, desarrollamos la formulación hamiltoniana equivalente a partir del lagrangiano de cuarto orden que aparece en la acción [18]. Obtenemos resultados analíticos tanto para los perfiles óptimos como para la LDF en el límite de disipación macroscópica pequeña, y los escalamientos en el límite tanto pequeño como de disipación grande. Gracias al método de simulación Monte Carlo avanzado [11], basado en la evolución independiente de un número grande de copias independientes del sistema, obtenemos la estadística necesaria para comprobar la bondad de nuestras hipótesis previas. A modo de resumen las conclusiones que hemos obtenido en esta tesis son las siquientes: 1. Hemos propuesto una clase general de modelos disipativos de red en los que la están presente la difusión y la disipación de la energía a partir del modelo de KMP. Hemos comprobado que es válida la aproximación de equilibrio local con interacciones cuasielásticas, y obtenido las ecuaciones para los promedios y los coeficientes de transporte del sistema. Hemos encontrado un acuerdo excelente entre las predicciones teóricas de los modelos y los experimentos numéricos mediante simulación de Monte Carlo. 2. Se han obtenido los comportamientos fluctuantes macroscópicos del sistema, así como una relación de fluctuación disipación válida para las colisiones cuasielásticas a nivel microscópico y como las propiedades de los ruidos que aparecen. Además, la comparación con las simulaciones es excelente. 3. Hemos extendido la MFT para el caso disipativo cuasielástico, comprobando que el funcional que describe las fluctuaciones es el mismo que en el caso conservativo debido que el ruido de la disipación es subdominante. También se han obtenido analíticamente las ecuaciones de los perfiles y la LDF para el caso límite de disipación macroscópica pequeña. Mediante simulaciones basadas en el algoritmo de los clones, se ha comprobado que las hipótesis realizadas y los resultados están de acuerdo con el comportamiento observado del sistema. Referencias [1] C. Kipnis, C. Marchioro and E. Presutti, J. Stat. Phys. 27, 65 (1982) [2] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Statistical Physics 3rd edition, Course of Theoretical Physics Vol. 5 (Pergamon Press, Oxford, 1980). [3] H. Touchette, Phys. Rep. 478,1 (2009). [4] C. Jarzynski, Phys. Rev. Lett. 78, 2690 (1997) [5] G. E. Crooks, Phys. Rev. E 61, 3 (1999) [6] G. Gallavotti and E.G.D. Cohen, Phys. Rev. Lett. 74, 2694 (1995) [7] P.I. Hurtado et al, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 108, 7704 (2011) [8] B. Derrida, J. Stat. Mech. P07023 (2007) [9] T. Bodineau and B. Derrida, Phys. Rev. Lett. 92, 180601 (2004) [10] L. Bertini, A. De Sole, D. Gabrielli, G. Jona-Lasinio and C. Landim, Phys. Rev. Lett. 87, 040601 (2001); Phys. Rev. Lett. 94, 030601 (2005); J. Stat. Mech. P07014 (2007); J. Stat. Phys. 135, 857 (2009) [11] C. Giardina, J. Kurchan and L. Peliti, Phys. Rev. Lett. 96, 120603 (2006) [12] V. Lecomte and J. Tailleur, J. Stat. Mech. (2007) P03004; J. Tailleur and V. Lecomte, AIP Conf. Proc. 1091, 212 (2009) [13] A. Einstein, Investigation on the theory of brownian movement, R. Furth ed., (Dover, New York, 1956) [14] L. Onsager and S. Machlup. Phys. Rev., 91 1505 (1953) [15] P.I. Hurtado and P.L. Garrido, Phys. Rev. Lett. 102, 250601 (2009); Phys. Rev. E 81, 041102 (2010); J. Stat. Mech. P02032 (2009) [16] T. Poschel and S. Luding eds., Granular Gases, Lecture Notes in Physics vol.564 (Springer-Verlag, Berlin, 2001) [17] G.Eyink, J. L. Lebowitz, and H. Spohn, Commun. Math. Phys. 132, 253 (1990); 140, 119 (1991). [18] C. Lanczos, The Variational Principles of Mechanics (Dover, New York, 1986).