A discontinuous galerkin finite element method for the time-domain solution of Maxwell equations

Resumo

En esta tesis se aborda el desarrollo de técnicas numéricas eficientes en el análisis de problemas realistas de propagación, radiación, dispersión y acoplamiento electromagnético. Para este objetivo, se investiga sobre la utilización de elementos discontinuos de Galerkin (DG) y su aplicación en la resolución de las ecuaciones de Maxwell en el dominio del tiempo. Las principales aportaciones están basadas en la combinación del esquema eficiente de integración temporal leap-frog (LF), junto con un algoritmo de local time-stepping (LTS), con el método de discretización espacial DG. El algoritmo propuesto se denomina Leap-Frog Discontinuous Galerkin (LFDG). Se ha desarrollado la formulación espacial DG en su forma semi-discreta. La formulación se plantea de una forma general, unificando diferentes esquemas de evaluación de flujos, los cuales han sido aplicados con éxito a este método. Se ha desarrollado un amplio rango de funcionalidades en el contexto de métodos DG, como las condiciones típicas de contorno (conductor eléctrico/magnético perfecto, condición de contorno de Silver-Müller de primer orden, interfaces entre materiales con propiedades eléctricas y/ó magnéticas diferentes), modelización de materiales anisótropos, fuentes electromagnéticas (ondas planas, puertos coaxiales ó en guía de onda y delta-gap), y condiciones de frontera conformes y uniaxiales perfectamente adaptadas. El esquema de integración LF se ha aplicado a la formulación DG semi-discreta, obteniendo el algoritmo LFDG. Además se propone un esquema de LTS explícito en combinación con el algoritmo LFDG. El esquema semidiscreto DG y el algoritmo LFDG se han analizado, y se exploran los límites en cuanto a precisión y coste computacional del método LFDG. En primer lugar se revisa el problema de los modos espurios en el contexto de DG, y se estudian los espectros numéricos de ambos esquemas. Después, las relaciones numéricas de dispersión y disipación, y la convergencia y anisotropía de los errores de ambos métodos se comparan y analizan. Finalmente, se ha llevado a cabo un análisis en cuanto a coste computacional vs. precisión del método LFDG, incluyendo una comparación con el método de diferencias finitas en el dominio del tiempo. El algoritmo LFDG se ha implementado de forma paralela y escalable utilizando una técnica de programación híbrida OMP-MPI, en la cual se explota la naturaleza paralela del algoritmo propuesto. Se demuestran las capacidades del método, siendo capaz de calcular problemas eléctricamente grandes, manteniendo la precisión controlada, y considerando pequeños detalles geométricos gracias a la utilización del algoritmo de LTS. El método LFDG se ha aplicado a diferentes tipos de problemas electromagnéticos (filtros de microondas, antenas, compatibilidad electromagnética en aeronáutica¿) comparado con medidas u otras técnicas numéricas. El método ha sido aplicado a problemas reales de ingeniería, mostrando importantes propiedades: robustez, estabilidad, versatilidad, eficiencia, escalabilidad y precisión.