Information and entanglement measures in quantum systems with applications to atomic physics

Resumen

Esta tesis es una contribución multidisciplinar a la teoróa de la información de sistemas monoparticulares Coulombianos, a la teoría de información de las funciones especiales de la física matemáica, a la computación cuántica y a la información cuántica de sistemas atómicos. Los conceptos de información, complejidad y entrelazamiento juegan un papel principal. Los Capítulos son autocontenidos, con su propia introducción y conclusiones. En el Capítulo 1 exploramos analítica y numéricamente el desorden interno del átomo de hidrógeno, que está asociado a la no uniformidad de la densidad de probabilidad mecano-cuántica de sus estados, la cual está relacionada con la gran diversidad de geometrías tridimensionales de los orbitales atómicos. Este estudio se realiza para el estado fundamental y estados excitados no sólo mediante la determinación de la varianza y el desequilibrio, sino también por medio de las complejidades Fisher-Shannon, Cramer-Rao y LMC, tanto en el espacio de momentos como en el de posiciones. Se examina cuidadosamente la dependencia de estas tres medidas con la carga nuclear Z y los números cuánticos (n, l, m). En resumen, se encuentra que estas tres medidas de complejidad no dependen de Z, y que la medida de Fisher-Shannon depende cuadráticamente de n. Además se dan expresiones explícitas de la medida LMC así como cotas precisas a la medida de Fisher-Shannon. El Capítulo 2 generaliza a sistemas D dimensionales algunos de los resultados del capítulo anterior. En él se describe un formalismo fisico-matemático de cálculo de la complejidad LMC de estados estacionarios arbitrarios de un sistema hidrogenoide D-dimensional en términos de ciertos funcionales entrópicos de los polinomios de Laguerre y Gegenbauer o ultraesféricos. Se hace hincapié en el estado fundamental y los estados circulares, donde la complejidad LMC se calcula explícitamente y es analizada en función de la dimensionalidad y de los números cuánticos. El Capítulo 3 extiende el trabajo hecho en los dos capítulos anteriores para incluir los efectos relativistas de tipo Klein-Gordon. Concretamente, investigamos la compresión de la carga de partículas Columbianas sin espín mediante varias medidas teórico-informacionales de tipo simple (varianza, entropía de Shannon e información de Fisher) y compuesto (complejidades Fisher-Shannon y LMC). Las tres medidas simples muestran que los efectos relativistas son más importantes (i.e. la carga se comprime más hacia el origen) para los estados de baja energía y cuando la carga nuclear aumenta. Además los efectos relativistas aumentan las medidas de dispersión simple (varianza y entropía de Shannon) cuando n(l) disminuye para un l(n) fijo, mientras la información de Fisher tiene un comportamiento opuesto. La medida de Fisher-Shannon también aumenta con el número cuántico magnético para un (n, l) fijo. Se observa también que las complejidades de Fisher-Shannon y LMC aumentan con el número atómico Z, al contrario que en el caso no relativista. En el Capítulo 4 introducimos las medidas de esparcimiento directas de una familia de funciones especiales de la física-matemática, los polinomios ortogonales hipergeométricos, que cuantifican de varias maneras la distribución de sus densidades de probabilidad de Rakhmanov en todo su intervalo de ortogonalidad. Hacemos hincapié en el caso de los polinomios de Hermite y Laguerre, donde calculamos no sólo los momentos ordinarios y la desviación estándar, sino también las longitudes de las medidas teórico-informacionales de Renyi, Shannon y Fisher. Esto se realiza para la medida de Renyi mediante el uso de una metodología general que usa los polinomios de Bell multivariables y, en el caso de los polinomios de Laguerre, mediante la fórmula de linealización de Srivastava y Niukkanen. Para la longitud de Shannon, que no puede ser calculada analíticamente debido a que es un funcional logarítmico, se determinan su asintótica y cotas superiores. La longitud de Fisher se obtiene explícitamente. Finalmente, todas estas medidas son comparadas entre si y analizadas computacionalmente. El Capítulo 5 es una contribución al campo de los procesos de aprendizaje para computadores cuánticos que realizan operaciones clásicas. Proponemos un nuevo modelo para realizar un autómata cuántico para el procesado de información clásica. Este se basa en una máquina que puede realizar una operación arbitraria en un qubit. La operación usada para testear el proceso de aprendizaje es la raíz k-ésima de la operación NOT (negación lógica) de un bit, que es una operación clásica. Se puede probar que el tiempo de aprendizaje para la máquina cuántica es independiente de la raíz de la operación k; por otro lado la máquina clásica escala cuadráticamente con k si k = 2^m, siendo m un número natural. Finalmente se compara la velocidad de aprendizaje de un modelo clásico con la del modelo cuántico propuesto. En el Capítulo 6 se revisa brevemente el concepto de entrelazamiento cuántico, haciendo énfasis en las diferencias existentes entre el concepto de entrelazamiento en sistemas constituidos por subsistemas distinguibles y el correspondiente concepto en sistemas de fermiones idénticos. En el Capítulo 7 se investiga el entrelazamiento de sistemas multifermiónicos y de variables continuas. Primero, basándonos en las entropías lineal y de von Neumann de la matriz densidad reducida, encontramos criterios de separabilidad para estados puros de N fermiones idénticos mucho más simples que otros criterios recientemente propuestos en la literatura. Derivamos unas desigualdades para estas entropías que nos permiten proponer medidas de entrelazamiento para sistemas puros de N fermiones. Además se analizan las conexiones existentes entre estos resultados y ciertos resultados clásicos de la teoría de Hartree-Fock. Estas nuevas medidas se aplican al estudio de las propiedades de entrelazamiento, tanto para el estado fundamental como para estados excitados, de dos modelos resolubles de dos fermiones idénticos interactuantes, y se comparan los resultados con un modelo del helio basado en funciones de onda de tipo Kinoshita altamente precisas. Se explora la dependencia del entrelazamiento con la intensidad del potencial de confinamiento. Brevemente, se encuentra que en todos estos casos el entrelazamiento crece al aumentar la energía. También se estudia la dependencia del entrelazamiento con los parámetros de los modelos, así como con la carga nuclear. Finalmente se exploran numéricamente diversos aspectos un criterio de separabilidad recientemente propuesto por Walborn et al para sistemas cuánticos de variables continuas, analizándose su eficiencia en función de diferentes parámetros.