The mean field problem with sign changing potentials

Resumen

Esta tesis se centra en el estudio de ecuaciones de tipo Liouville en superficies compactas. En concreto, nuestro trabajo se focaliza en tres objetos de análisis fundamentales en el campo de las ecuaciones en derivadas parciales: existencia, multiplicidad y compacidad de soluciones. La motivación del estudio de esta clase de ecuaciones se encuentra en su fuerte conexión con la geometría diferencial y diversas teorías físicas de actualidad. La principal novedad de esta tesis es la consideración del caso en que la función potencial puede cambiar de signo. La ausencia de restricciones sobre el signo de dicha función abre un largo número de problemas a estudiar. Hasta donde se sabe, esta situación no ha sido prácticamente considerada con anterioridad. Por esta razón, las cuestiones que son analizadas en este trabajo son algunas de las más fundamentales en el estudio de EDPs. Cabe reseñar que desde un punto de vista geométrico no hay razón para exigir que la función sea estrictamente positiva. La estrategia para demostrar nuestros resultados de existencia y multiplicidad emplea fuertemente la formulación variacional de los problemas considerados, mientras que el apartado dedicado a la compacidad emplea otras herramientas clásicas en el estudio de ecuaciones elípticas.