Análisis del pandeo de pilares en régimen no lineal mediante splines generalizados

Resumo

El objetivo fundamental de la presente memoria ha sido la realización de un estudio sobre el comportamiento de los pilares esbeltos sometidos a pandeo en régimen no lineal mediante la técnica de splines generalizados. Dicha técnica puede considerarse como una variante de la metodología de cálculo por elementos finitos. Para ello tras una revisión de los antecedentes históricos y los métodos actuales de cálculo de elementos viga-columna sometidos a cargas axiles en situaciones de no linealidad se exponen los resultados más destacados de trabajos realizados con anterioridad sobre splines generalizados y elementos finitos que son básicos para esta investigación: propiedad de solución nodal exacta y concepto de acción repartida equivalente. Se aplican después dichos resultados al estudio del pilar sometido a pandeo en régimen lineal, ilustrándose con un ejemplo la utilidad de los mismos. Después mediante modelos discretos se introducen los fenómenos de inestabilidad, bifurcación y las trayectorias en problemas con no linealidad geométrica y del material. A continuación se recogen las aportaciones fundamentales de la tesis: el concepto de pilar lineal equivalente y el teorema de equivalencia que permiten un tratamiento linealizado del problema no lineal. La aportación se centra esencialmente en el caso de no linealidad del material. Se desarrollan posteriormente en la memoria los dos métodos de análisis propuestos que son: a) Método algebraico. Utilizado en el caso de problemas isostáticos en los que es posible predecir la ley de momentos o equivalentemente la distribución de curvaturas. Para este tipo de problemas la utilización de relaciones momento curvatura dada por una poligonal permite establecer una serie de ecuaciones de equilibrio y compatibilidad con las que resolver el problema determinando la deformada de equilibrio. b) Método general. El concepto de pilar lineal equivalente y el teorema de equivalencia permiten resolver problemas no lineales debido a la no linealidad del material mediante la resolución de problemas lineales utilizando la técnica de los elementos finitos con splines generalizados. Mediante el concepto de pilar lineal equivalente se le asigna a cada elemento una rigidez constante. Esta distribución de rigideces se lleva a cabo mediante un proceso de homotopía que parte de una relación lineal momento-curvatura en cada elemento y que tiene como estado final la relación no lineal momento-curvatura de cada elemento. Mediante un proceso iterativo las curvaturas obtenidas en un paso de la homotopía permiten obtener las rigideces de los elementos en el siguiente paso. El resultado final cuando se ha terminado el proceso consiste en una distribución de rigideces entre elementos en los que finalmente se alcanza un estado de compatibilidad y equilibrio. Seguidamente se expone un conjunto de aplicaciones de los dos métodos citados a problemas de pandeo de pilares en régimen no lineal con distintos estados de carga y diferentes tipos de restricciones, destacando finalmente las principales conclusiones de esta memoria e indicando los posibles trabajos de investigación futuros que pueden desarrollarse a partir de las ideas aportadas en este estudio. The main goal of this work is to study the bucking behavior of slender columns with a non-linear response using the generalized splines technique. This technique can be considered a variant of the finite element methodology. Therefore, after reviewing the background to and current methods of calculating beam-column elements with axial loads in non-linear situations, the most prominent results of earlier work on generalized splines and finite elements, essential for this research, are explained: the property of exact nodal solutions and the concept of equivalent distributed load. These results are then applied to examine the buckling behavior of columns in a linear response, and an example is given to illustrate how useful these results are. Afterwards, discrete models are used to introduce the phenomena of instability, bifurcation and trajectories in geometrically and materially non-linear problems. Following on from this, the fundamental contributions of this research are then described: the concept of equivalent linear column and the equivalence theorem. These two contributions allow non-linear problems to be dealt with a linearly way. The two proposed methods of analysis are then developed: c) Algebraic method. Used for isostatic problems where the law of bending moments or, equivalently, curvatures distribution can be predicted. For this problem type, a series of equiUbrium and compatibility equations can be established using the moment-curvature relationships given by a polygonal to solve the problem by determining the deformed of equilibrium solution. d) General method. The concept of equivalent linear column and the theorem of equivalence allow materially non-linear problems to be solved by linear problem solving using the finite elements technique with generalized splines. Using the equivalent linear column concept, each element is assigned a constant flexural rigidity. These rigidities are distributed though a process of homotopy that starts with a linear moment-curvature relationship in each element and ends with the non-linear moment-curvature relationship of each element. The curvatures yielded in one homotopy step output the rigidities of the elements in the next step in an iterative process. The final result at the end of the process is a distribution of rigidities across elements in which a state of compatibility and equilibrium is finally achieved. Then a series of apphcations of the two above-mentioned methods to buckling column problems with a non-linear response with different load states and constraint types are explained, stressing the main findings of this research and specifying possible fuiture research work that could follow on from the ideas that have materialized in the present study.