Analysis and numerical simulation of network of noisy leaky integrate and fire neuron models

Abstract

El cerebro es uno de los órganos más perfectos, complejos y a la vez fascinantes de nuestro cuerpo. Sin embargo, aunque cada vez se entiende mejor su complicado funcionamiento, aún quedan muchas preguntas abiertas. La investigación para continuar desvelando el enigma del cerebro (y del sistema nervioso en general) se lleva a cabo desde diversas perspectivas. La parte experimental es crucial para alcanzar este objetivo, pero también el modelado desempeña un papel importante. En consecuencia, existen numerosos modelos que se aplican habitualmente en neurociencia para traducir el comportamiento biológico de una red neuronal a una ecuación matemática. Este procedimiento permite determinar la evolución a lo largo del tiempo de dicha red por medio del análisis de las soluciones de la ecuación matemática resultante. Por lo tanto, aquí es donde las matemáticas aportan su parte al desarrollo de dichas investigaciones. En esta tesis se pretende abordar el estudio del comportamiento de las soluciones de algunos de estos modelos en doble vertiente: analítica y numérica. En concreto, nos centraremos en el modelo No Lineal de Integración y Disparo (sus siglas en inglés NNLIF) que mediante Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDPs) de tipo Fokker-Planck determina a nivel mesoscópico la evolución en tiempo del comportamiento de una red neuronal cuyas neuronas están descritas a nivel microscópico por el modelo de Integración y Disparo (IF, en inglés). Los resultados obtenidos para este modelo, y para algunas de sus simpli caciones, se exponen en tres capítulos. Los capítulos están ordenados de manera creciente, según la completitud del modelo que estudian. Así, en el primer capítulo, basado en el trabajo [6], se trata el modelo NNLIF para una sola población de neuronas, con retraso sináptico y sin estado refractario. Obtenemos que para este caso las soluciones son globales en tiempo, evitando así una explosión en tiempo finito de la tasa de disparo (blow-up), como se había observado en [9] a nivel microscópico. Para obtener este resultado combinamos argumentos y técnicas de [8] y [7] y las adaptamos al modelo bajo estudio. El contenido del capítulo segundo se corresponde a la publicación [5], abordando una versión más completa del modelo, ya que considera una red neuronal formada por dos poblaciones. Sin embargo, para reducir la complejidad consideramos que no hay retrasos ni estados refractarios. Estudiamos si aparece el fenómeno del blow-up y analizamos el número de estados estacionarios en función de los valores de los parámetros, lo cual aquí es bastante más complejo que en [2], obteniendo además una gran variedad de comportamientos. Finalmente, demostramos que las soluciones convergen al estado estacionario si los parámetros de conectividad son pequeños, en valor absoluto. Completamos todos los resultados teóricos con resultados numéricos, obtenidos mediante un código en paralelo que describe toda la complejidad del sistema. El tercer capítulo que se apoya sobre el trabajo [6], trata el modelo del capítulo previo, pero incluyendo también estados refractarios y retrasos sinápticos. Estudiamos los equilibrios, el blow-up y el comportamiento a largo plazo. Vemos que si hay estado refractario pero no hay retraso entre las neuronas excitadoras, las soluciones explotan en algunos casos. Por otro lado, para parámetros de conectividad pequeños las soluciones convergen con velocidad exponencial al equilibrio si no hay retraso pero sí estado refractario y si el dato inicial está lo su ficientemente cerca del estacionario estacionario. Completamos el estudio presentando un resolutor numérico mejorado que permite simular el modelo completo: dos poblaciones, estados refractarios y retrasos. Proporcionamos algunos resultados numéricos novedosos: para el modelo de dos poblaciones con estados refractarios y retraso entre las neuronas excitadoras parece que no hay explosión, y las soluciones o tienden al equilibrio o se hacen periódicas. Nuestros resultados analíticos y numéricos contribuyen a respaldar que el modelo NNLIF es un modelo adecuado para describir fenómenos neuro fisiológicos bien conocidos, como lo son la sincronización/asincronización de la red, ya que la explosión en tiempo finito quizás represente una sincronización de parte de la red, mientras que la presencia de un único estado estacionario asintóticamente estable describe una asincronización de la red. Asimismo, la abundancia del número de estados estacionarios, en función de los valores de los parámetros, que puede ser observada para estos modelos simpli ficados, probablemente nos ayude a caracterizar situaciones de multiestabilidad para otros modelos más completos, como p.e., los que incluyen variables de conductancia [3]. En [4] se mostró que si incluimos un estado refractario en el modelo, hay situaciones de multiestabilidad, con dos estados estables y uno inestable. En [3] se han descrito fenómenos de biestabilidad numéricamente. Redes multiestables están relacionadas, p.e., con la percepción visual y la toma de decisiones [10, 1], la memoria de trabajo a corto plazo [13] e integradores oculomotores [12]. Por otro lado, las soluciones periódicas u oscilantes se usan para modelar estados síncronos y oscilaciones observadas, p.e., durante el procesado cortical [10, 11].