Macroscopic limits, self-organization and stability in systems with singular interactions arising from hydrodynamics and life sciences

Resumen

Esta tesis se centra en el análisis de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que surgen en modelos de física, biología matemática o neurociencia. En particular, estudiamos una familia de modelos que en la literatura reciben el nombre de "dinámica colectiva". La idea fundamental de estos modelos es que, partiendo de reglas que describen las interacciones entre partículas del sistema, la población tiene a menudo capacidad de organizarse colectivamente y desarrollar diversos fenómenos emergentes como, por ejemplo, "swarming", "flocking", "schooling" o sincronización. Desde un punto de vista matemático, estos modelos han sido motor del desarrollo de importantes herramientas diseñadas para analizar los diversos componentes de estos modelos. Algunas de ellas, que serán especialmente relevantes en esta tesis son: teoría cinética, ecuaciones estocásticas, límites de campo medio e hidrodinámicos, propagación de caos, teoría del potencial, transporte óptimo de masa, etc. A lo largo de la tesis, prestamos especial atención a modelos cinéticos donde las interacciones vienen descritas por medio de núcleos singulares. Esto introduce nuevos retos matemáticos que no pueden resolverse mediante una metodología usual y requieren el desarrollo de herramientas matemáticas novedosas. En particular, las ecuaciones de la mecánica de fluidos pueden verse como casos especiales de dinámica colectiva, que trataremos en esta tesis como un tema complementario. Concretamente, la mayoría de modelos de dinámica colectiva tienen versiones macroscópicas gobernadas por sistemas de leyes de conservación similares a las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes. Esto sugiere que el estudio de mecánica de fluidos puede arrojar luz en la comprensión de dinámicas colectivas más generales. Tras una introducción del estado del arte acerca de los temas de esta tesis, en el segundo capítulo deducimos rigurosamente un límite hidrodinámico hiperbólico de inercia pequeña para el modelo de Cucker-Smale con pesos singulares. Dicho sistema viene dado por una ley de conservación de la masa acoplada con una ecuación integral implícita para el campo de velocidades, que está determinada por un conmutador de integrales singulares. En segundo lugar, mostramos resultados de existencia local de soluciones en espacios con mayor regularidad. El resultado presentado es de los primeros en la literatura en considerar y analizar límites hidrodinámicos del modelo de Cucker-Smale con función de influencia singular. En el tercer capítulo, introducimos un nuevo modelo de osciladores acoplados de tipo Kuramoto con pesos singulares, que tiene aplicaciones al estudio de sincronización neuronal. Tras justificar el modelo desde primeros principios, mostramos resultados de existencia y unicidad de soluciones globales válidos incluso después de una posible colisión. Para ello empleamos el concepto de solución en sentido de Filippov. En segundo lugar, analizamos la emergencia de sincronización y encontraremos nuevas dinámicas como consecuencia de que los osciladores tienen capacidad de sincronizarse en tiempo finito. En el cuarto capítulo introducimos la aproximación cinética asociada al modelo del capítulo tres. En primer lugar, extendemos la teoría de existencia de soluciones débiles en sentido de las medidas que permanece siendo aplicable tras posibles colisiones gracias al estudio de flujos en sentido de Filippov. En segundo lugar, estudiamos desigualdades de estabilidad con respecto a dos distancias de transporte diferentes: la distancia Wasserstein-2 y una versión en fibras que presentamos aquí. En consecuencia, obtenemos resultados de unicidad, límite de campo medio y dinámica emergente del sistema continuo. En el quinto capítulo, estudiamos la convergencia al equilibrio global en la ecuación de Kuramoto-Sakaguchi cuando la constante de acople es grande. De esta forma, presentamos el primer resultado en la literatura aplicable a datos iniciales generales con un control explícito de las tasas de convergencia. Nuestro resultado se basa en el estudio de dos componentes esenciales: concentración de la masa del sistema entorno a la fase media y extensión de las desigualdades clásicas de Talagrand y Sobolev logarítmicas respecto a la distancia de transporte en fibras del capítulo anterior, extendiendo resultados previos de F. Otto y C. Villani para la ecuación de Fokker-Planck. En el capítulo seis nos centramos en el estudio de un problema de mecánica de fluidos. Concretamente, afrontamos el estudio de los campos de Beltrami generalizados, como soluciones estacionarias particulares de la ecuación de Euler en tres dimensiones. Su relevancia nace en la teoría Lagrangiana de la turbulencia y, recientemente han resultado fundamentales en la resolución de la conjetura de Kelvin acerca de la existencia de estructuras de vorticidad anudadas y enlazadas en fluidos incompresibles. Los campos de Beltrami generalizados son escasos dado que el factor de proporcionalidad debe satisfacer restricciones geométricas muy específicas, lo cual imposibilita una teoría de estabilidad general. No obstante, en este capítulo introducimos dos resultados de estabilidad parcial. Por un lado, perturbamos factores constantes en el complementario de una bola pequeña y por otro lado perturbamos factores generales en bolas pequeñas alrededor de puntos no críticos del campo de velocidades. Demostramos que los nuevos campos de Beltrami presentan el mismo tipo de estructuras de vorticidad complejas de la literatura previa. El último capítulo presenta dos temas adicionales, actualmente en desarrollo, que han surgido como consecuencia de los resultados de esta tesis. Concluimos el capítulo con algunas conclusiones y proyectos de trabajo futuro.