Patterns in Partial Differential Equations Arising from Fluid Mechanics

Resumen

Esta tesis se centra en la existencia de soluciones periódicas en tiempo de modelos hamiltonianos que surgen en Mecánica de Fluidos. En la primera parte, exploraremos en el plano soluciones con movimiento rígido (rotaciones puras o translaciones) con distribución uniforme o no uniforme para modelos como las ecuaciones de Euler incompresibles o el modelo quasi–geostrofico generalizado. En la segunda parte, nos centraremos en un estudio similar para el sistema quasi–geostrofico tridimensional. El estudio de este modelo muestra una gran riqueza comparado con los modelos bidimensionales, esto es debido al conjunto de soluciones estacionarias y también a la gran diversidad de problemas espectrales asociados. En la ultima parte, mostramos varios trabajos en desarrollo de esta tesis junto con algunas conclusiones y perspectivas. A continuación, explicaremos brevemente los contenidos de la tesis. • En el primer capitulo presentamos el estado del arte acerca de los principales temas tratados en esta tesis y otros temas relacionados. Esta dividido en dos secciones: las Ecuaciones de Euler bidimensionales y el sistema quasi–geostrofico tridimensional. • El capítulo 2 esta enfocado al trabajo [67], el cual es una colaboración con mis supervisores de tesis T. HMIDI y J. SOLER. Este trabajo esta actualmente aceptado para publicacion en Archive for Rational Mechanics and Analysis. En este capitulo, nos centramos en la existencia de soluciones no uniformes, con soporte compacto en dominios acotados, que rotan en las Ecuaciones de Euler bidimensionales. La principal idea es la bifurcación desde soluciones radiales (las cuales son estacionarias). El sistema esta compuesto de dos ecuaciones acopladas no lineales para la forma del soporte y para la densidad dentro de el. Analizaremos profundamente el diagrama de bifurcación alrededor de perfiles cuadráticos, esto es (A|x| 2 + B)1D, usando el teorema de Crandall–Rabinowitz y propiedades refinadas de funciones hipergeométricas. • El tercer capitulo se centra en el trabajo [65], el cual esta publicado en Nonlinearity. Este capítulo propone un modelo para el fenómeno conocido como Karm´ an Vortex Street que aparece en ecuaciones de transporte no lineales. Los primeros intentos teóricos para entender este modelo fueron los de VON KARM ´ AN´ [89, 90] mediante un sistema de puntos de vorticidad. El autor considero dos calles paralelas de masa de Dirac, con fuerza opuesta, que se trasladan a velocidad constante. Siguiendo las simulaciones numéricas de SAFFMAN y SCHATZMAN [134], proponemos estudiar este fenómeno de una forma mas realística considerando dos calles infinitas de parches de vorticidad (vortex patches). Mediante la desingularizacion del modelo de puntos de vorticidad propuesto por ´ VON KARM ´ AN´ , somos capaces de demostrar rigurosamente las simulaciones numéricas propuestas por SAFFMAN y SCHATZMAN. • El capítulo 4 incluye el trabajo [66], el cual es una colaboración con mi supervisor de tesis T. HMIDI y con J. MATEU; esta actualmente sometido a publicación. Se centra en el estudio de soluciones periódicas para el modelo tridimensional quasi–geostofico sin viscosidad. Mostramos la existencia de parches que rotan, los cuales son una perturbación de parches estacionarios que son superficies de revolución alrededor del eje vertical. La construcción de estas soluciones especiales se consigue mediante teoría de bifurcación. En general, el problema espectral es muy delicado y depende fuertemente de la solución estacionaria inicial. Restringiéndonos a una clase de superficies de revolución y explotando la forma particular de nuestro modelo, somos capaces de implementar la bifurcación a partir del autovalor más grande de una familia de operadores tipo Fredholm en una dimensión. • El capitulo 5 explica algunos trabajos en proceso de esta tesis. Algunas conclusiones y perspectivas de trabajo son también dadas a final de este capıtulo. • Finalmente, en los apéndices A, B y C damos algunos resultados necesarios sobre teoría de bifurcación, teoría del potencial y funciones especiales.