Curvature prescription problems on manifolds with boundary

Zusammenfassung

Questa tesi riguarda lo studio di due problemi ellittici semilineari che appaiono nel campo della Geometria Riemanniana. In particolare, siamo interessati a prescrivere certe quantit a geometriche su variet a Riemanniane con bordo per mezzo di trasformazioni conformi della metrica, cio e le curvature Gaussiana e geodetica su una super cie compatta e il suo bordo, e le curvature scalare e media su una variet a di dimensione superiore. La maggior parte dei risultati disponibili si concentra sullo studio di queste equazioni in variet a chiuse, mentre il caso con bordo e stato trattato molto meno. In relazione a ci o, evidenziamo che la presenza del bordo produce una pi u ampia variet a di fenomeni, molti dei quali non trovano una controparte sulle versioni chiuse di questi problemi. In particolare, la formulazione variazionale del capitolo 4, e gli argomenti di compattezza ed esistenza del capitolo 5 sono intimamente legati alla presenza del bordo. Inoltre, la nostra ricerca e focalizzata sul caso in cui le curvature prescritte sono non costanti, per il quale ci sono solo pochi risultati noti. Questo tipo di problemi ammette una struttura variazionale, quindi discuteremo l'esistenza di soluzioni dal punto di vista del Calcolo delle Variazioni. A volte i funzionali di energia considerati saranno limitati dal basso e sar a possibile trovare un minimo globale; in altri casi, tuttavia, questo non e possibile e l'uso della teoria min-max diventa necessario. In quest'ultima situazione, questo ci porta all'analisi di blow-up delle soluzioni dei problemi approssimati. Il lavoro sviluppato in questa tesi ha portato a due articoli di ricerca, [31] e [32].