Pseudo-parallel immersions in SnxR and HnxR, and constant anisotropic mean curvature surfaces in R3

Resumen

Este trabajo está dividido en dos temas principales. La primera parte se refiere al estudio de las inmersiones pseudo-paralelas en los espacios producto $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ y $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$. Esa parte fue desarollada con mi director de tesis, G.A. Lobos, y con la colaboración de A.J.Y. Hancco. La segunda parte se dedica al estudio de las superficies de curvatura media anisotrópica constante en $\mathbb{R}^3$. Ese estudio es el resultado de un trabajo conjunto con mi otro director, J.A. G\'alvez, y P. Mira, la mayoría de los resultados obtenidos durante un año de investigación en España, como parte del programa PDSE, por CAPES. Introducción a la Parte I Las variedades semi-simétricas son una generalización natural y bien conocida de las variedades localmente simétricas, fueron introducidas por E. Cartan en \cite {Cartan} y clasificadas por Z.I. Szab\'o (ver \cite{Szabo} y \cite{Szabo2}). La investigación de varias propiedades de las variedades semi-simétricas da lugar a su próxima generalización: las variedades pseudo-simétricas. Por ejemplo, \textit{cualquier subvariedad totalmente umbilical de una variedad semi-simétrica, con vector de curvatura media paralelo, es pseudo-simétrica} (ver \cite{AdamowDeszcz}). La clase de variedades pseudo-simétricas es muy grande, y se han construido muchos ejemplos de variedades pseudo-simétricas que no son semi-simétricas (véanse, por ejemplo, \cite{Deszcz1}, \cite{Deszcz6} y sus referencias). En las últimas tres décadas, varios autores han publicado una gran cantidad de resultados tanto intrínsecos como extrínsecos acerca de esta clase de variedades. Como consecuencia, se conocen muchos resultados particulares, véase, por ejemplo, \cite{Defever}, \cite{Deszcz1}, \cite{Deszcz2}, \cite{Deszcz3}, \cite{Deszcz6}, \cite{Deszcz4}, \cite{Deszcz5}, pero una clasificación completa aún no existe. Por otro lado, en la Teoría de Subvariedades, condiciones extrínsecas análogas a las de simetría-local, de semi-simetría y de pseudo-simetría han sido introducidas y estudiadas con bastante intensidad. Ferus introdujo la noción de inmersiones localmente paralelas en \cite{Ferus2} como un análogo extrínseco a la simetría-local y el mismo autor obtuvo una clasificación local de tales inmersiones en el espacio euclideo y en las esferas (ver \cite{Ferus1}) mientras que en los espacios hiperbólicos se obtuvieron dos clasificaciones independientemente por Backes-Reckziegel (ver \cite{Backes}) y Takeuchi (ver \cite{Takeuchi}). Curiosamente, debemos mencionar a H.B. Lawson, que clasificó las hiperesuperficies paralelas en las esferas antes de que se introdujera la definición de esta clase de subvariedades, como podemos ver en \cite{Lawson}. Las inmersiones semi-paralelas fueron definidas por J. Deprez en \cite{Deprez1} como un análogo extrínseco a la semi-simetría. Se pueden encontrar muchos resultados acerca de subvariedades semi-paralelas, por ejemplo, en \cite{Asperti3}, \cite{Deprez1}, \cite{Deprez}, \cite{Dillen2}, \cite{Dillen3}, \cite{Lumiste1} y \cite{Lumiste2}, pero una clasificación aún no está disponible. Sin embargo, podemos encontrar una clasificación completa de las hiperesuperficies semi-paralelas en \cite{Deprez} para el espacio euclideo y en \cite{Dillen2} para formas espaciales. Un análogo extrínseco a la pseudo-simetría fue introducido por primera vez por A.C. Asperti, G.A. Lobos y F. Mercuri en \cite{Asperti2} en formas espaciales: la clase de subvariedades pseudo-paralelas. A saber, una inmersión isométrica $f: M^n \rightarrow \tilde{M}^m$ se dice que es \textit{pseudo-paralela} si su segunda forma fundamental $\alpha$ satisface la siguiente condición: \begin{equation}\label{introppdefinitionES} \tilde{R}(X,Y) \cdot \alpha = \phi (X \wedge Y) \cdot \alpha, \end{equation} para alguna función a valores reales $\phi$ definida en $M^n$, donde $\tilde{R}$ es el tensor de curvatura correspondiente a la conexión de Van der Waerden-Bortolotti $\tilde{\nabla} = \nabla \oplus \nabla^\perp$ de $f$ y para cualquier $X,Y \in T_xM^n$, $x \in M^n$, $X \wedge Y$ denota el endomorfismo definido por \begin{equation*} (X \wedge Y) Z = \langle Y, Z \rangle X - \langle X, Z \rangle Y, \qquad Z \in T_xM^n. \end{equation*} En la ecuación \eqref{introppdefinitionES} la notación significa \begin{align*} [R(X,Y)\cdot \alpha](Z,W) &= R^\perp(X,Y)\alpha(Z,W) - \alpha(R(X,Y)Z,W) - \alpha(Z,R(X,Y)W);\\ [(X \wedge Y)\cdot \alpha](Z,W) &= -\alpha((X \wedge Y)Z,W) - \alpha(Z,(X \wedge Y)W), \end{align*} para $Z,W \in T_xM^n$, donde $R^\perp$ es el tensor de curvatura normal de $f$. Algunas conclusiones notables sobre el estudio de las inmersiones pseudo-paralelas en formas espaciales se incluyen en las referencias \cite{Asperti} y \cite{Lobos2}, donde los autores probaron que las superficies pseudo-paralelas son superficies con fibrado normal plano o superficies isotrópicas en el sentido de O'Neill \cite{Oneill} (es decir, superficies cuya elipse de curvatura en cualquier punto es un círculo). En particular, demostraron que las superficies pseudo-paralelas en formas espaciales con curvatura normal que no se anula y codimensión $2$ son superficies superminimales en el sentido de Bryant \cite{Bryant} (es decir, superficies que son minimales y isotrópicas). También obtuvieron una clasificación de las hipersuperficies pseudo-paralelas en formas espaciales. Esencialmente, tales hiperesuperficies son o bien hipersuperficies \textit{cuasi-umbilicales} o bien \textit{cíclides de Dupin}. El siguiente paso es estudiar este tipo de subvariedades en otros espacios ambientes. Por ejemplo, en variedades cuasi-complejas trabajos fueron realizados por G. Lobos y M. Ortega en \cite{Lobos}, donde una clasificación local para las hipersuperficies pseudo-paralelas reales fue dada. Esencialmente, las hiperesuperficies pseudo-paralelas reales $M^{2n-1}$, $n \geq 2$, de una forma espacial compleja $\tilde{M}^n(4c)$ con curvatura seccional holomorfa constante $4c$ o son tubos sobre un $\mathbb{C}P^{n-1}$ totalmente geodésico o bien horosferas en $\mathbb{C}H^{n-1}$ o tubos sobre un $\mathbb{C}H^{n-1}$ totalmente geodésico. Esta clasificación fue útil más tarde en el problema de clasificar las hipersuperficies de Hopf con curvaturas principales constantes en el espacio hiperbólico complejo $\mathbb{C}H^n$, como podemos ver en el octavo capítulo de \cite{Cecil}. Otras opciones naturales para espacios ambientes son los espacios simétricos conformemente planos restantes, $\mathbb{S}^n(c) \times \mathbb{R}$, $\mathbb{H}^n(c) \times \mathbb{R}$ y $\mathbb{S}^p(c) \times \mathbb{H}^{n+1-p}(-c)$ (ver \cite{Ryan}), ya que son productos Riemannianos de formas espaciales y tienen los tensores de curvatura más sencillos, después de las formas espaciales. Aquí $\mathbb{S}^n(c)$ y $\mathbb{H}^n(c)$ denotan la esfera $n$-dimensional y el espacio hiperbólico $n$-dimensional, respectivamente, y $c$ denota sus curvaturas seccionales. Recientemente, los espacios producto $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ y $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ han atraído la atención de muchos matemáticos. Algunos estudios importantes de subvariedades en estos espacios ambientes incluyen: una generalización de la diferencial de Hopf para superficies en $\mathbb{S}^2 \times \mathbb{R} $ y $\mathbb{H}^2 \times \R$, debido a U. Abresch y H. Rosenberg in \cite{Abresch}, lo que permite a los autores demostrar que las esferas topológicas con curvatura media constante inmersas en estos espacios son superficies de revolución; un Teorema Fundamental para hiperesuperficies en $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ y $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$, obtenido por B. Daniel en \cite{Daniel}; una clasificación de hipersuperficies con curvatura seccional constante de $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ y $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$, dada por F. Manfio y R. Tojeiro en \cite{Tojeiro4}, para $n \geq 3$. Con respecto a las nociones extrínsecas que estamos interesados en ese trabajo, mencionamos a G. Calvaruso, D. Kowalczyk, J. Van der Veken y L. Vrancken, quienes en \cite{Calvaruso} y \cite{Joeri} obtuvieron una clasificación local de las superficies umbilicales, paralelas y semi-paralelas de $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ y $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$, respectivamente. Una consecuencia interesante de estas clasificaciones es que la umbilicidad no implica paralelismo (en formas espaciales, como consecuencia de la ecuación de Codazzi, las hipersuperficies totalmente geodésicas y umbilicales son todas paralelas). Posteriormente, B. Mendon\c ca y R. Tojeiro obtuvieron en \cite{Tojeiro2} una clasificación completa de las subvariedades umbilicales con cualquier codimensión en $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ y los mismos autores dieron una clasificación completa de subvariedades paralelas en un producto de dos formas espaciales en \cite{Tojeiro3}. El estudio de hiperesuperficies pseudo-paralelas en $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ y $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ fue iniciado por F. Lin y B. Yang, en \cite{Fengmei}, con una clasificación de hipersuperficies pseudo-paralelas. Obtuvieron una descripción algebraica del operador Weingarten, que es presentado en el Lema 3.1 de \cite{Fengmei}. Además, dieron la descripción geométrica de tales hiperesuperficies, a excepción de un caso que falta: la clase en la que el operador de Weingarten tiene tres valores propios distintos. Uno de nuestros objetivos en esta tesis es completar esta clasificación. Un paso clave fue mostrar que, incluso en el caso en que el operador de forma tiene tres valores propios distintos, la componente tangente $T$ de $\frac{\partial}{\partial t}$ (el vector unitario tangente al segundo factor del espacio ambiente) es, de hecho, una dirección principal. Por otro lado, en \cite{Tojeiro} R. Tojeiro describió explícitamente esta clase de hipersuperficies en $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ y $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$. Al juntar los resultados de \cite{Asperti}, \cite{Fengmei} y \cite{Tojeiro}, mostramos el siguiente teorema: \begin{theoremES} \label{introPPthreeprincipalcurvaturesES} \textit{Sea $f:M^n \rightarrow \mathbb{Q}^n_\epsilon \times \mathbb{R}$ una hiperesuperficie pseudo-paralela con tres curvaturas principales distintas. Entonces, $M^n = M^{n-1} \times \mathbb{R}$ y existe una hiperesuperficie semi-paralela $g: M^{n-1} \rightarrow \mathbb{Q}^{n}_\epsilon$ tal que $f(x,s) = (g(x),s)$ o $f$ viene dada por \begin{align} f(x,s) &= \cos(s) g(x) + \sin(s) N(x) + a(s) \frac{\partial}{\partial t}, \quad \mbox{si} \quad \epsilon = 1; \label{solutionintroES1}\\ f(x,s) &= \cosh(s) g(x) + \sinh(s) N(x) + a(s) \frac{\partial}{\partial t}, \quad \mbox{si} \quad \epsilon = 1; \label{solutionintroES2} \end{align} en términos de $g$ y una función lineal $a:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ con derivada que nunca se anula. Aquí $N$ denota el campo normal unitario de $g$ y los elementos de las ecuaciones \eqref{solutionintroES1}-\eqref{solutionintroES2} són vistos como sus inclusiones canónicas en $\mathbb{E}^{n+2}$} \end{theoremES} En ese sentido, del Teorema \ref{introPPthreeprincipalcurvaturesES} y los resultados obtenidos en \cite{Fengmei}, la clasificación de las hipersuperficies pseudo-paralelas de $\mathbb{Q}^n_{\epsilon} \times \R$ se torna: \begin{theoremES}[Teorema de Clasificación] \label{classificationintroES} \textit{Sea $f: M^n \rightarrow \QSS$ una hipersuperficie pseudo-paralela. Entonces ocurre una de las siguientes: \begin{itemize} \item[(i)] $n=2$ y $\phi$ es la curvatura gaussiana; \item[(ii)] $f$ es umbilical; \item[(iii)] $f$ es una hipersuperficie de rotación; \item[(iv)] $f: M^{n-1}\times \mathbb{R} \rightarrow \QSS$ es dada por $f(x,s) = (g(x),s)$, para una hipersuperficie semi-paralela $g: M^{n-1} \rightarrow \QS$; \item[(v)] Existe una hipersuperficie semi-paralela $g: M^{n-1} \rightarrow \QS$ tal que $f: M^{n-1}\times \mathbb{R} \rightarrow \QSS$ es dada por las ecuaciones \eqref{solutionintroES1}-\eqref{solutionintroES2} en términos de $g$ y de una función lineal $a:\R \rightarrow \R$ con derivada que nunca se anula. \end{itemize} } \end{theoremES} Como consecuencia del Teorema \ref{classificationintroES} obtenemos una clasificación de hiperesuperficies pseudo-paralelas minimales y de curvatura media constante. \begin{corollaryES} \label{introcorollaryPPCMCES} \textit{Sea $f:M^n \rightarrow \mathbb{Q}^n_\epsilon \times \mathbb{R}$ ($n \geq 3$) una hiperesuperficie pseudo-paralela con curvatura media constante. Entonces $f$ es o totalmente geodésica, o una hiperesuperficie de rotación con curvatura media constante, o es dada como en el ítem (iv) del Teorema \ref{classificationintroES}, donde $g(M^{n-1}) $ es un abierto de $\mathbb{S}^{k}(c_1) \times \mathbb{S}^{n-k-1}(c_2)$ (resp. $\mathbb{H}^{k}(c_1) \times \mathbb{S}^{n-k-1}(c_2)$) if $\epsilon = 1$ (resp. $\epsilon = -1$), para algunos números reales $c_1, c_2$ satisfaciendo $\frac{1}{c_1} + \frac{1}{c_2} = \epsilon$ y algún $k \in \{1, \dots, n-2\}$.} \end{corollaryES} \begin{corollaryES} \label{introcorollaryPPminimalES} \textit{Sea $f:M^n \rightarrow \mathbb{Q}^n_\epsilon \times \mathbb{R}$ ($n \geq 3$) una hiperesuperficie pseudo-paralela. Si $f$ es minimal, entonces $f$ es una hiperesuperficie totalmente geodésica, o una hiperesuperficie de revolución minimal, o $\epsilon = 1$ y $f$ es dada como en el ítem (iv) del Teorema \ref{classificationintroES}, donde $g(M^{n-1})$ es un abierto de $\mathbb{S}^{k}(\frac{n-1}{k}) \times \mathbb{S}^{n-k-1}(\frac{n-1}{n-k-1})$ para algún $k \in \{1, \dots, n-2\}$.} \end{corollaryES} Recordamos que las hipersuperficies de rotación minimales y con curvatura media constante en $\mathbb{Q}^n_\epsilon \times \mathbb{R}$ fueron clasificadas en \cite{Dillen}. En este trabajo también comenzamos el estudio de superficies pseudo-paralelas en $\QSS $ (con $\epsilon \neq 0$). El segundo resultado principal de la primera parte de este trabajo es una caracterización de superficies pseudo-paralelas con curvatura normal que no se anula como superficies isotrópicas, generalizando un resultado similar en formas espaciales dadas por Asperti-Lobos-Mercuri en \cite{Asperti}. En particular, se establece la inexistencia de superficies pseudo-paralelas con curvatura normal que no se anula, en codimensión $2$. \begin{theoremES} \label{introPPsurfacesES} \it Sea $f:M^2 \rightarrow \mathbb{Q}^n_\epsilon \times \mathbb{R}$ una superficie pseudo-paralela cuya curvatura normal no es idénticamente nula en ningún subconjunto abierto de $M^2$. Entonces $n \geq 4$, $f$ es $\lambda$-isotrópica y \begin{align*} &K > \phi, \\ &\lambda^2 = 4K - 3 \phi + \epsilon (\Vert T \Vert^2 - 1) > 0, \\ & \Vert H \Vert^2 = 3K - 2 \phi + \epsilon (\Vert T \Vert^2 - 1) \geq 0, \end{align*} donde $K$ es la curvatura gaussiana, $\lambda$ es una función suave definida en $M^2$, $H$ es el vector curvatura media de $f$ y $T$ es la parte tangente de $\frac{\partial}{\partial t}$, el campo vectorial unitario tangente al segundo factor de $\mathbb{Q}^n_\epsilon \times \mathbb{R}$. Recíprocamente, si $f$ es $\lambda$-isotrópica, entonces $f$ es pseudo-paralela. \end{theoremES} Organizamos la primera parte de la tesis en dos capítulos. En el primer capítulo presentamos las notaciones que usamos a lo largo de todo el trabajo y recordamos algunos conceptos de la Teoría de Subvariedades. También recordamos las formas espaciales y los espacios producto $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ y $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$, incluyendo para estos últimos sus Ecuaciones fundamentales para superficies e hipersuperficies, herramientas esenciales que usaremos en el próximo capítulo. La siguiente sección está dedicada a presentar las hipersuperficies de rotación de $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ y $\mathbb {H}^n \times \mathbb{R}$ y la caracterización de esa clase de hipersuperficies en términos de la segunda forma fundamental. En la siguiente sección recordamos la descripción geométrica dada por R. Tojeiro de las hipersuperficies que tienen a $T$ como una dirección principal. El segundo capítulo está dedicado a nuestro estudio de inmersiones pseudo-paralelas en $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ y $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$. Comenzamos con definiciones precisas de las clases de subvariedades que nos interesan, recordando una caracterización de las hipersuperficies semi-paralelas en formas espaciales en términos del operador de Weingarten, y la clasificación de las hiperesuperficies semi-paralelas en formas espaciales y en los espacios producto $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ y $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$. En la siguiente sección realizamos una mejora de Lemma 3.1, en \cite{Fengmei}, donde probamos que el segundo caso en el ítem (iii) no ocurre y que $T$ es la dirección principal con curvatura principal relacionada igual a cero. A continuación, presentamos en la tercera sección la prueba del Teorema \ref{introPPthreeprincipalcurvaturesES} y la Clasificación de las hiperesuperficies pseudo-paralelas de $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ y $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$, después de poner nuestro resultado junto con la clasificación parcial dada en \cite{Fengmei}. También proporcionamos las pruebas de los Corolarios \ref{introcorollaryPPCMCES} y \ref{introcorollaryPPminimalES}. En las siguientes dos secciones estudiamos el caso de superficies, observando que cualquier inmersión isométrica $f:M^2 \rightarrow \mathbb{Q}^n_\epsilon \times \mathbb{R}$ con fibrado normal plano es pseudo-paralela y probamos otras proposiciones auxiliares. Luego demostramos el Teorema \ref{introPPsurfacesES}. Aunque no existen superficies pseudo-paralelas con curvatura normal no idénticamente nula, como se indica en el Teorema \ref{introPPsurfacesES}, la clase de superficies pseudo-paralelas en $\mathbb{Q}_\epsilon^3 \times \mathbb{R}$ es no vacía. En la última sección damos ejemplos de superficies semi-paralelas que no son paralelas, así como ejemplos de superficies pseudo-paralelas en $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{R}$ y $\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$ que no son superficies semi-paralelas ni pseudo-paralelas en un corte $\mathbb{Q}^3_\epsilon \times \{t\}$. Finalmente, observamos que existen superficies pseudo-paralelas en $\mathbb{Q}^n_\epsilon \times \mathbb{R}$ con $n \geq 4$ y curvatura normal no idénticamente nula, como se muestra en los ejemplos de la sección. Introducción a la Parte II Las superficies de curvatura media constante son uno de los temas más antiguos e interesantes en geometría diferencial. La razón de su importancia reside en el hecho de que surgen como soluciones locales para el problema de minimizar el área entre las superficies que encierran un volumen prescrito: el famoso problema isoperimétrico. A lo largo de los años, las superficies de curvatura media constante (superficies CMC, para abreviar) atrajeron la atención de muchos matemáticos y se han hecho muchos progresos desde entonces. Entre los problemas más importantes en las superficies de CMC están aquellos que envolven condiciones geométricas o topológicas globales como completitud, compacidad, embebimiento, ser propiamente inmersa y estabilidad. Algunos logros importantes incluyen: el Teorema de Alexandrov (ver \cite{Alexandrov}), que establece que la única superficie CMC compacta y embebida en $\mathbb{R}^3$ es la esfera redonda; el conocido Teorema de Hopf (ver \cite{Hopf}), que establece que la única esfera topológica con curvatura media constante inmersa en el espacio euclideo $\mathbb{R}^3$ es la esfera redonda; los resultados que se encuentran en \cite{Meeks}, donde W. Meeks demostró que cualquier anillo propiamente embebido con curvatura media constante está contenido en un semi-cilindro sólido. También concluyó que no hay una superficie CMC $\Sigma$ propiamente embebida con solo un final y si $\Sigma$ tiene solo dos finales, entonces está contenida en un cilindro sólido. Sin embargo, las superficies de curvatura media constante también son objetos de interés para los físicos. Por ejemplo, cuando dos materiales que no se mezclan entran en contacto, la interfaz entre ellos a menudo se puede representar como una superficie. De acuerdo con la ley de mínima acción, la superficie de equilibrio se formará de tal manera que intente minimizar su energía superficial sujeta a restricciones y fuerzas adicionales impuestas por el medio ambiente. Para materiales homogéneos, como el agua con jabón, la energía superficial (tensión superficial) es isotrópica y proporcional al área de la interfaz de la superficie. En este caso, el proceso de minimización conduce a la formación de superficies minimales (cuando no se imponen restricciones de volumen) y superficies de curvatura media constante (cuando se impone restricción al volumen), los modelos matemáticos para películas de jabón y pompas de jabón, respectivamente. Para otros tipos de materiales, como algunos fluidos o cristales líquidos en resfriamiento, puede ocurrir un proceso de cristalización. En este caso, sus estructuras atómicas o moleculares asumen un patrón regular repetitivo, y para modelar la forma de la interfaz del fluido con su entorno, debemos tener en cuenta la estructura interna del material: la energía superficial isotrópica habitual debe ser reemplazada por una anisotrópica, es decir, una energía que depende de la dirección de la superficie en cada punto. Las energías superficiales anisotrópicas són típicamente dadas por el funcional \begin{equation} \label{anisotropicenergyES} {\cal{F}}(\psi) = \int_\Sigma F (N(x)) d\Sigma, \end{equation} donde $F:\Omega \subset \mathbb{S}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ es una función suave sobre un subconjunto abierto $\Omega$ de $\mathbb{S}^2$ y $\psi:\Sigma \rightarrow \mathbb{R}^3$ es una inmersión con campo normal unitário $N$. En particular, si $F \equiv 1$, entonces ${\cal{F}}$ se convierte en el bien conocido funcional área. En esta tesis discutimos las superficies que son puntos de equilibrio del funcional ${\cal{F}}$, imponiendo o no restricciones de volumen en el problema. La ecuación de Euler-Lagrange para estos problemas caracteriza las superficies de equilibrio en términos de una cierta cantidad asignada en cada uno de sus puntos, que llamamos curvatura media anisotrópica. Es decir, si $\Sigma$ es cualquier superficie y $N: U \subset \Sigma \rightarrow \mathbb{S}^2$ es un campo vectorial normal unitario de $\Sigma$ definido en un subconjunto abierto $U$, la curvatura media anisotrópica $\Lambda$ de $\Sigma$ con respecto a $N$ viene dada por la relación: \begin{equation} \Lambda (x): = - \dive_\Sigma((\grad_{\mathbb{S}^2} F)_{N(x)}) + 2 F(N(x)) H(x), \end{equation} donde $H(x)$ denota la curvatura media de $\Sigma$ en $x$ con respecto a $N$ y $(\grad_{\mathbb{S}^2}F)_{N(x)}$ se ve como un vector de $T_x\Sigma$, después de identificalo con $T_{N(x)}\mathbb{S}^2$. Para cada elección de una función $F:\mathbb{S}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, hay una superficie notable que debemos tener en cuenta: la forma Wulff de $F$ (o el cristal de $F$). Fue descubierto por un cristalógrafo ruso llamado George Wulff, a principios del siglo XX. Más tarde, con la maquinaria de la Teoría Geometrica la Medida, J. Taylor demostró en \cite{Taylor} que la forma de Wulff es, de hecho, el minimizante absoluto del funcional ${\cal{F}}$ entre todas las superficies cerradas prescribiendo el mismo volumen, un resultado conocido como el Teorema de Wulff. Aunque la forma de Wulff esté bien definida mismo cuando $F$ está definida solamente en un subconjunto abierto de $\mathbb{S}^2$, en este trabajo consideraremos solo el caso donde $F$ es una función suave definida sobre toda la esfera $\mathbb{S}^2$. También imponemos la ``condición de convexidad'': $(\Hess_{\mathbb{S}^2}F)_y + F(y) \langle , \rangle: T_y \mathbb{S}^2 \times T_y\mathbb{S}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ es una forma bilineal definida positiva, para cualquier punto $y \in \mathbb{S}^2$. La razón de estas condiciones es puramente técnica. Implican que la forma de Wulff es una superficie suave estrictamente convexa y compacta, y del Teorema de Wulff podemos inferir que la forma de Wulff tiene una curvatura media anisotrópica constante. Desde sus propiedades de minimización y compacidad, la forma de Wulff jugará en la teoría de superficies CMAC un papel similar al de la esfera redonda en la teoría de superficies CMC. Otra razón para imponer la condición de convexidad reside en el hecho de que es posible demostrar que la ecuación para superficies de curvatura media anisotrópica constante es absolutamente elíptica. Esto significa que las superficies CMAC satisfacen un Principio del Máximo, en el sentido de E. Hopf. En otras palabras, si dos superficies tienen la misma curvatura media anisotrópica constante, y si los vectores unitarios normales (correspondientes a la curvatura media anisotrópica) de ambas superficies coinciden en un punto de contacto de tal manera que una superficie se encuentra en un lado de la otra en un entorno del punto de contacto, entonces las dos superficies coinciden en ese entorno. Dado que este principio es una de las herramientas más importantes utilizadas en el estudio de las superficies CMC y también es válido para las superficies CMAC, esperamos que la mayoría de los resultados en las superficies CMC tengan extensiones a las superficies CMAC. Muchos estudios sobre superficies CMAC se llevaron a cabo hasta esta fecha, especialmente en las últimas dos décadas, cuando se lograron muchos avances. Por ejemplo, B. Palmer demostró en \cite{Palmer} que salvo homotecias, la forma de Wulff es la única superficie CMAC cerrada, orientada y estable, una extensión anisotrópica del famoso teorema de J.L. Barbosa y M.P. do Carmo, en \cite{Barbosa}. De la asociación de B. Palmer con M. Koiso surgieron muchos otros resultados importantes. Algunos de ellos incluyen: el estudio de las superficies capilares; la descripción de las llamadas superficies anisotrópicas de Delaunay (es decir, superficies CMAC de revolución), así como una generalización de la construcción rolante para obtener sus curvas perfiles, obtenida en \cite{Koiso} y \cite{Koiso3}, y generalizando la construcción de Delaunay en \cite{Delaunay}; también probaron una versión anisotrópica del Teorema de Hopf en \cite{Koiso2}. También mencionamos los trabajos de H. Li y sus colaboradores. Entre sus resultados, citamos una versión anisotrópica del Teorema de Alexandrov, obtenida en \cite{He3} y la caracterización de la forma de Wulff en términos de curvaturas medias anisotrópicas de alto orden, en \cite{He5}. Otros resultados interesantes que podemos citar son la clasificación de las hipersuperficies isoparamétricas anisotrópicas debido a Ge, en \cite{Ge}, y el estudio de los helicoides CMAC por Kuhns, en \cite{Kuhns}. Finalmente mencionamos \cite{Lira}, donde J.H.S. de Lira y M. Melo extienden la noción de curvatura media anisotrópica para hipersuperficies inmersas en variedades riemannianas arbitrarias. Motivado por las similitudes entre la teoría de las superficies CMC y CMAC, nuestro objetivo en esta tesis será presentar la versión anisotrópica de trés teoremas importantes. El primer resultado principal es un Teorema de tipo Bernstein para multigrafos completos de CMAC, una versión anisotrópica del teorema probado por D. Hoffman, R. Osserman y R. Schoen en \cite{Hoffman2}. \begin{theoremES} \label{introbernsteinmultigraphsES} Sea $\Sigma$ un multigrafo vertical en $\mathbb{R}^3$, es decir, para cualquier $p \in \Sigma$, $T_p \Sigma$ no es un plano vertical. Suponga que $\Sigma$ es completa y tiene curvatura media anisotrópica constante. Entonces $\Sigma$ es un plano. \end{theoremES} Una consecuencia inmediata del Teorema \ref{introbernsteinmultigraphsES} es el siguiente corolario. \begin{corollaryES} Sea $\Sigma$ una superficie CMAC completa cuya imagen por su aplicación de Gauss esté contenida en un hemisferio cerrado de $\mathbb{S}^2$. Entonces $\Sigma$ es o bien un plano o bien un cilindro CMAC. \end{corollaryES} El segundo resultado principal de la segunda parte de la tesis es también una consecuencia del Teorema \ref{introbernsteinmultigraphsES}, donde generalizamos un teorema sobre superficies CMC cuya curvatura de Gauss no cambia de signo, un resultado encontrado en \cite{Klotz}, debido a T. Klotz y R. Osserman. \begin{theoremES} \label{intrononnegativecurvatureES} Sea $\Sigma^2 \subset \mathbb{R}^3$ una superficie inmersa completa de curvatura media anisotrópica constante $\Lambda \neq 0$. Si la curvatura gaussiana de $\Sigma$ no cambia de signo, entonces $\Sigma$ es una de las siguientes superficies: \begin{itemize} \item[(i)] un cilindro CMAC; \item[(ii)] la forma de Wulff (salvo homotecias). \end{itemize} \end{theoremES} En el tercer teorema principal de la segunda parte de esta tesis, obtenemos una acotación uniforme para la altura máxima de los gráficos CMAC con borde plano, que depende solo de la curvatura media anisotrópica. Más precisamente, tenemos \begin{theoremES} \label{introheightestimatesES} Sea $\Lambda \neq 0$ una constante real y sea $v \in \mathbb{S}^2$ un vector unitario cualquier. Entonces hay una constante $C = C(\Lambda)$ tal que para cualquier dominio cerrado (no necesariamente acotado) $\Omega$ del plano $\Pi =\{v\}^\perp$ y una función suave $u:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ que se anula en $\partial \Omega$ y cuyo grafo $\Sigma$ sobre $\Pi$ es una superficie $\Lambda$-CMAC, la altura de cualquier punto $p \in \Sigma$ en relación a $\Pi$ es a lo más $C$. \end{theoremES} La versión isotrópica del Teorema \ref{introheightestimatesES} fue obtenida por primera vez por W. Meeks en \cite{Meeks}, y después generalizada por J.A. Aledo, J.M. Espinar y J.A. G\'alvez en \cite{Aledo}, para clases más generales de superficies que satisfacen el Principio del Máximo, como las superficies especiales de Weingarten, es decir, superficies que satisfacen una relación $H = f(H^2-K)$, para cierta función $f$, donde $H$ y $K$ denotan la curvatura media constante y la curvatura gaussiana de las superficies, respectivamente. Aunque el Teorema \ref{introheightestimatesES} no proporciona acotaciones óptimas, recordamos que su versión isotrópica ha sido una herramienta fundamental para el estudio de superficies CMC propiamente embebidas. Entre las consecuencias de estas acotaciones de altura para grafos están la inexistencia de superficies CMC propiamente embebidas con un solo final, como mencionamos anteriormente en el segundo párrafo, y que cualquier superficie CMC propiamente embebida de dos finales es una superficie de revolución. Nuestra principal dificultad en la prueba del Teorema \ref{introheightestimatesES} reside en el hecho de que el funcional ${\cal{F}}$ no es necesariamente invariante bajo reflexiones. En otras palabras, si $\Pi$ es un plano y $\Sigma$ es una superficie CMAC, entonces la imagen de $\Sigma$ bajo la reflexión sobre $\Pi$ no es necesariamente una superficie CMAC, ya que los valores de $F$ en un punto y su imagen refletida pueden ser distintos. Este hecho prohíbe el uso del Método de los Planos Moviles de Alexandrov, que fue empleado en la prueba de la versión isotrópica del Teorema \ref{introheightestimatesES}. Como corolario del Teorema \ref{introheightestimatesES}, demostramos acotaciones uniformes para superficies compactas con CMAC no nula y borde plano. \begin{corollaryES} \label{introheigthestimates1ES} Suponga que la función de anisotropía $F$ es invariante bajo la reflexión en $\mathbb{S}^2$ que fija la geodésica $\mathbb{S}^2 \cap \{v\}^\perp$, para algún $v \in \mathbb{S}^2$. Sea $\Sigma$ cualquier superficie $\Lambda$-CMAC ($\Lambda \neq 0$) compacta, embebida en $\mathbb{R}^3$ y con borde contenido en el plano $\{v\}^\perp$. Entonces existe una constante positiva $C$ que depende solo de $\Lambda$, de modo que la altura de cualquier punto $p \in \Sigma$ en relación a $\{v\}^\perp$ es a lo más $C$. \end{corollaryES} Bajo cierta hipótesis de simetría sobre la función de anisotropía y probando una versión anisotrópica del famoso Lema de Separación de Meeks (véanse \cite{Meeks} y \cite{Korevaar}), podemos demostrar la inexistencia de superficies propiamente embebidas en $\mathbb{R}^3 $ con curvatura media anisotrópica constante y con solo un final. \begin{theoremES} \label{introoneendES} Sea $\Sigma \subset \mathbb{R}^3$ una superficie $\Lambda$-CMAC ($\Lambda \neq 0$) propiamente embebida con topología finita y a lo más un final. Considere tres vectores linealmente independientes $v_1, v_2, v_3 \in \mathbb{R}^3$ y suponga además que la función de anisotropía $F$ es invariante bajo las reflexiones en $\mathbb{S}^2$ que fijan las geodésicas $\mathbb{S}^2 \cap \{v_i\}^\perp$, para $i \in \{1,2,3\}$. Entonces, salvo homotecias, $\Sigma$ es la forma de Wulff. \end{theoremES} Organizamos la segunda parte de esta tesis en dos capítulos. En el capítulo tres damos atención a la introducción de los conceptos básicos sobre la teoría de las superficies de curvatura media anisotrópica constante. En la primera sección presentamos el problema variacional, cuyos puntos críticos son nuestro objeto de interés. Para caracterizar estos puntos críticos en términos de la función de anisotropía y la curvatura media, recordamos la primera fórmula de variación, que nos lleva a la definición de la curvatura media anisotrópica de una superficie. A continuación, presentamos la forma de Wulff, relacionando su construcción geométrica con su descripción analítica. Esto nos permite, en la siguiente sección, definir los análogos anisótropos de la aplicación normal de Gauss y la segunda forma fundamental. En particular, la curvatura media anisotrópica de una superficie estará dada por la traza de la segunda forma fundamental anisotrópica. Se incluyó una breve sección con ejemplos de superficies CMAC, donde el lector puede hacer una comparación entre los casos isotrópico y anisotrópico. A saber, recordamos la construcción de superficies de rotación CMAC, helicoides CMAC y cilindros CMAC. Este último, en especial, jugará un papel crucial en los resultados obtenidos en el próximo capítulo. Las pruebas de los principales resultados de esta tesis, a saber, Teoremas \ref{introbernsteinmultigraphsES} y \ref{introheightestimatesES}, son los contenidos del Capítulo cuatro. Para superar las dificultades relacionadas con el Método de los Planos Móviles, seguimos las ideas que se encuentran en \cite{Bueno}. Primero, adaptamos un Teorema de Compacidad para superficies CMAC con segunda forma fundamental acotada y cuyas curvaturas medias anisotrópicas convergen a un número real prefijado. Este resultado nos permite obtener superficies CMAC completas como límites de secuencias de superficies CMAC sobre conjuntos compactos, y se aplicará a lo largo de todo el capítulo. Otro resultado útil que adaptamos de \cite{Bueno} fue acotaciones a priori de la segunda forma fundamental para superficies CMAC cuya curvatura media anisotrópica está acotada por una constante prefijada y cuya aplicación de Gauss omite un disco de área prefijada. Un paso clave para su prueba fue el uso de un Teorema de tipo Bernstein para superficies minimales anisotrópicas, debido a H.B. Jenkins (ver \cite{Jenkins}), que también recordamos en el texto. También demostramos acotaciones de diámetro horizontal en el sentido de \cite{Meeks}, es decir, acotaciones de diámetro para las componentes conexas de cortes horizontales de gráficos CMAC definidos en dominios cerrados y que se anulan en el borde. Estas acotaciones solo dependen de la curvatura media anisotrópica. Su prueba se basa en las ideas de \cite{Aledo}. Siguiendo estos resultados auxiliares, damos una prueba del Teorema \ref{introbernsteinmultigraphsES}. Aunque la versión isotrópica del Teorema \ref{introbernsteinmultigraphsES} se prueba utilizando argumentos sobre la armonicidad de la aplicación de Gauss $N$ de la superficie y las propiedades de la ecuación $\Delta N + \Vert dN \Vert^2 N = 0$ (donde $\Delta$ denota el operador Laplaciano de la superficie), nuestra prueba es geométrica y parte de ella se basa en las ideas encontradas en \cite{Hauswirth}. Al juntar el Teorema \ref{introbernsteinmultigraphsES} y los resultados auxiliares, podemos probar el Teorema \ref{introheightestimatesES} y sus consecuencias, incluyendo el estudio de superficies CMAC propiamente embebidas en $\mathbb{R}^3$ con topología finita, donde concluimos con la demostración del Teorema \ref{introoneendES}. Finalmente, para la conveniencia del lector, agregamos un apéndice detallado sobre el Principio del Máximo. Recordamos el Principio Máximo para operadores diferenciales elípticos de segundo orden lineales y cuasi-lineales y establecemos una versión geométrica del Principio del Máximo, conocido como Principio de la Tangencia, para el operador de curvatura media anisotrópica. Referencias \bibitem{AdamowDeszcz} A. Adam\'ow; R. Deszcz, \emph{On totally umbilical submanifolds of some class of Riemannian manifolds.} Demonstratio Math. \textbf{16} (1983), 39-59. \bibitem{Aledo} J.A. Aledo, J.M. Espinar, J.A. G\'alvez, \emph{The Codazzi equation for surfaces}, Adv. Math. \textbf{224} (2010), 2511-2530. \bibitem{Alexandrov} A.D. Alexandrov, \emph{Uniqueness theorems for surfaces in the large I}, Vestnik Leningrad Univ. \textbf{11} (1956), 5-17. \bibitem{Ando} N. Ando, \emph{Hartman–Wintner’s theorem and its applications}, Calc. Var. \textbf{43} (2012), 389–402. \bibitem{Asperti3} A.C. Asperti; F. Mercuri, \emph{Semi-parallel immersions into space forms}, Boll. Un. Mat. Ital. B (7) \textbf{8} (1994), 883-895. \bibitem{Asperti2} A.C. Asperti; G.A. Lobos; F. Mercuri, \emph{Pseudo-parallel immersions of a space form}. Mat. Cont. \textbf{17} (1999), 59-70. \bibitem{Asperti} A.C. Asperti; G.A. Lobos; F. Mercuri, \emph{Pseudo-parallel submanifolds of a space form}, Adv. Geom. \textbf{2} (2002), 57-71. \bibitem{Backes} E. Backes; H. Reckziegel, \emph{On Symmetric Submanifolds of Spaces of Constant Curvature}, Math. Ann. \textbf{263} (1983), 421-433. \bibitem{Barbosa} J.L. Barbosa; M.P. do Carmo, \emph{Stability of hypersurfaces with constant mean curvature}, Math. Zeit. \textbf{185} (1984), 339-353. \bibitem{Bergner} M. Bergner, \emph{A halfspace theorem for proper, negatively curved immersions}, Ann. Glob. Anal. Geom. \textbf{38} (2010), 191-199. \bibitem{Bryant} R. Bryant, \emph{Conformal and minimal immersions of compact surfaces into the $4$-sphere}, J. Diff. Geom. \textbf{17} (1982), 455-473. \bibitem{Bueno} A. Bueno; J.A. G\'alvez; P. Mira, \emph{The global geometry of surfaces with prescribed mean curvature in $\mathbb{R}^3$}, https://arxiv.org/abs/1802.08146 \bibitem{Calvaruso} G. Calvaruso; D. Kowalczyk; J. Van der Veken, \emph{On extrinsically symmetric hypersurfaces of $\mathbb{H}^n\times\R$}. Bull. Aust. Math. Soc. \textbf{82} (2010), 390-400. \bibitem{doCarmo2} M.P. do Carmo; M. Dajczer, \emph{Helicoidal surfaces with constant mean curvature}, Tohoku Math. J. \textbf{34} (3) (1982), 425-435. \bibitem{doCarmo} M.P. do Carmo; E.L. Lima, \emph{Immersions of manifolds with non-negative sectional curvatures}, Bol. Soc. Bras. Mat (1971), Vol. 2, 9-22. \bibitem{doCarmolivro} M.P. do Carmo, \emph{Riemannian geometry}, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA (1992), xiv+300 pp. ISBN: 0-8176-3490-8. MR1138207. \bibitem{doCarmo3} M.P. do Carmo; M. Dajczer, \emph{Rotation hypersurfaces in spaces of constant curvature}, Trans. Math. Soc. \textbf{277}(2) (1983), 685-709. \bibitem{Manfredo} S.S. Chern; M.P. do Carmo; S. Kobayashi, \emph{Minimal submanifolds of a sphere with second fundamental form of constant length}. Functional Analysis and Related Fields, Springer, Berlin (1970), 59-75. \bibitem{Cartan} E. Cartan, \emph{Le\c cons sur la g\'eom\'etrie des espaces de Riemann}, 2nd ed., Paris, 1946. \bibitem{Cartan2} E. Cartan, \emph{Sur une class remarquable d'espaces de Riemannian}, Bull. Soc. Math. France, \textbf{54} (1926), 214-264; \textit{55} (1927), 114--134. \bibitem{Cecil} T.E. Cecil; P.J. Ryan, \emph{Geometry of hypersurfaces}. Springer Monographs in Mathematics (2015), ISBN: 978-1-4939-3245-0. \bibitem{Chern} S.S. Chern, \emph{On minimal spheres in the four-sphere}. Studies and Essays, Math. Res. Center, Nat. Taiwan Univ., Taipei (1970), 137-150. \bibitem{Clarenz1} U. Clarenz, \emph{Enclosure theorems for extremals of elliptic parametric functionals}, Calc. Var. Partial Differential Equations \textbf{15} (2002), Vol.3, 313-324. \bibitem{Clarenz2} U. Clarenz; H. von der Mosel, \emph{On surfaces of prescribed $F$-mean curvature}, J. Diff. Geom. \textbf{213} (2004), No.1, 15-36. \bibitem{Dajczer} M. Dajczer; R. Tojeiro, \emph{Submanifold Theory, Beyond an Introduction}, Univesitext Springer, New York (2019). \bibitem{Daniel} B. Daniel, \emph{Isometric immersions into $\mathbb{S}^n \times \R$ and $\mathbb{H}^n \times \R$ and applications to minimal surfaces}, Trans. Amer. Math. Soc. \textbf{361} (2009), 6255-6282. \bibitem{Defever} F. Defever; R. Deszcz; P. Dhooghe; L. Verstraelen; S. Yaprak, \emph{On Ricci-pseudosymmetric hypersurfaces in spaces of constant curvature}, Results Math. \textbf{27} (1995), 227-236. \bibitem{Delaunay} C. Delaunay, \emph{Sur la surface de revolution dont la courbure moyenne est constante}, J. Math. Pures et Appl. \textbf{6} (1) (1841), 309-320. \bibitem{Deprez1} J. Deprez, \emph{Semiparallel surfaces in Euclidean space}, J. Geom. \textbf{25} (1985), 192-200. \bibitem{Deprez} J. Deprez, \emph{Semi-parallel Hypersurfaces}, Rend. Sem. Mat. Univer. Politec. Torino, \textbf{44} (1986), 303-316. \bibitem{Deszcz1} R. Deszcz, \emph{Curvature properties of certain compact pseudosymmetric manifolds}, Colloq. Math. \textbf{65} (1993), 139-147. \bibitem{Deszcz2} R. Deszcz, \emph{On certain classes of hypersurfaces in spaces of constant curvature}, Geometry and topology of submanifolds, VIII (Brussels, 1995/Nordfjordeid, 1995), 101-110, World Sci. Publishing 1996. \bibitem{Deszcz3} R. Deszcz, \emph{On pseudosymmetric hypersurfaces in spaces of constant curvature}, Tensor (N.S.) \textbf{58} (1997), 253-269. \bibitem{Deszcz6} R. Deszcz, \emph{On pseudosymmetric spaces}, Bull. Soc. Math. Belg. S\'er. A \textbf{44} (1992), 1-34. \bibitem{Deszcz4} R. Deszcz; L. Verstraelen; S. Yaprak, \emph{Pseudosymmetric hypersurfaces in 4-dimensional spaces of constant curvature}, Bull. Inst. Math. Acad. Sinica \textbf{22} (1994), 167-179. \bibitem{Deszcz5} R. Deszcz; S. Yaprak, \emph{Curvature properties of Cartan hypersurfaces}, Colloq. Math. \textbf{67} (1994), 91-98. \bibitem{Dillen} F. Dillen; J. Fastenakels; J. Van der Veken, \emph{Rotation Hypersurfaces in $\mathbb{S}^n \times \R$ and $\mathbb{H}^n \times \R$}, Note Mat. \textbf{29} (2009), 41-54. \bibitem{Dillen2} F. Dillen, \emph{Semi-parallel hypersurfaces of a real space form}, Israel J. Math. \textbf{75} (1991), 193-202. \bibitem{Dillen3} F. Dillen; S. Nolker, \emph{Semi-parallelity, multi-rotation surfaces and the helix-property}, J. Reine Angew. Math. \textbf{435} (1993), 33-63. \bibitem{Espinar} J.M. Espinar; J.A. G\'alvez; H. Rosenberg, \emph{Complete surfaces with positive extrinsic curvature in product spaces}, Comment. Math. Helv. \textbf{84} (2009), No.2, 351-386. \bibitem{Ferus1} D. Ferus, \emph{Immersions with parallel second fundamental form}, Math. Z. \textbf{140} (1974), 87-93. \bibitem{Ferus2} D. Ferus, \emph{Symmetric submanifolds of Euclidean space}. Math. Ann. \textbf{247} (1980), 81-93. \bibitem{Ge} J. Ge; H. Ma, \emph{Anisotropic isoparametric hypersurfaces in euclidean spaces}, Ann. Glob. Anal. Geom. \textbf{41} (2012), 347-355. \bibitem{Trudinger} D. Gilbarg; N.S. Trudinger, \emph{Elliptic partial differential equations of second order}, Classics in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin (2001), Reprint of the 1998 edition. \bibitem{VerstraelenIntrinsic} S. Haesen; L. Verstraelen, \emph{Natural intrinsic geometrical symmetries}, SIGMA \textbf{5}, 086, (2009). \bibitem{Hancco} A.J.Y. Hancco; G.A. Lobos; M.P. Tassi, \emph{Pseudo-parallel surfaces of $\mathbb{S}^n_c\times\R$ and $\mathbb{H}^n_c\times\R$}, Bull. Braz. Math. Soc. New Series \textbf{50} (3) (2019), 705-715. \bibitem{HartmanNirenberg} P. Hartman; L. Nirenberg, \emph{On spherical image whose Jacobians do not change sign}, Amer. J. Math. \textbf{81} (1959), 901-920. \bibitem{Hauswirth} L. Hauswirth; H. Rosenberg; J. Spruck, \emph{On complete mean curvature $\frac{1}{2}$ surfaces in $\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}$}, Communications in Analysis and Geometry \textbf{5} (2008), vol.16, 989–1005. \bibitem{He5} Y.J. He; H.Z. Li, \emph{A new variational characterization of the Wulff shape}, Diff. Geom. Appl. \textbf{26} (2008), 377-390. \bibitem{He2} Y.J. He; H.Z. Li, \emph{Anisotropic version of a theorem of H. Hopf}, Ann. Global Anal. Geom. \textbf{35} (2009), 243-247. \bibitem{He4} Y.J. He; H.Z. Li, \emph{Integral formula of minkowski type and new characterization of the Wulff shape}, Acta Mathematica Sinica, English Series \textbf{24} (4) (2008), 697-704. \bibitem{He1} Y.J. He; H.Z. Li, \emph{Stability of hypersurfaces with constant $(r+1)$-th anisotropic mean curvature}, Illinois J. Math. \textbf{52} (2008), 1301-1314. \bibitem{He3} Y.J. He; H.Z. Li; H. Ma; J.Q. Ge, \emph{Compact embedded hypersurfaces with constant higher order anisotropic mean curvatures}, Indiana Univ. Math. J. \textbf{58} (2009), 853-868. \bibitem{Hoffman} D. Hoffman; W.H. Meeks, \emph{The strong halfspace theorem for minimal surfaces}, Invent. Math \textbf{101} (1990), 373-377. \bibitem{Hoffman2} D. Hoffman; R. Osserman; R. Schoen, \emph{On the Gauss map of complete surfaces of constant mean curvature in $\mathbb{R}^3$ and $\mathbb{R}^4$}, Comment. Math. Helvetici \textbf{57} (1982), 519-531. \bibitem{EHopf} E. Hopf, \emph{Elementare Bemerkumgen Über Die Lösungen Partieller Differential Gleichungen}, S. B. Preuss. Akad. Phys. Math. Kl. (1927), 147-152. \bibitem{Hopf} H. Hopf, \emph{Differential geometry in the large}, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin (1983). \bibitem{Itoh} T. Itoh; K. Ogiue, \emph{Isotropic immersion}. J. Diff. Geom. \textbf{8} (1973), 305-316. \bibitem{Jenkins} H.B. Jenkins, \emph{On two-dimensional variational problems in parametric form}, Arch. Rational Mech. Anal. \textbf{8} (1961), 181–206. \bibitem{Klotz} T. Klotz; R. Osserman, \emph{Complete surfaces in $\mathbb{E}^3$ with constant mean curvature}, Comment. Math. Helv. \textbf{41} (1966), 313-318. \bibitem{Koiso} M. Koiso; B. Palmer, \emph{Geometry and stability of surfaces with constant anisotropic mean curvature}, Indiana Univ. Math. J. \textbf{54} (2005), 1817-1852. \bibitem{Koiso2} M. Koiso; B. Palmer, \emph{Anisotropic umbilic points and Hopf's Theorem for surfaces with constant anisotropic mean curvature} Indiana Univ. Math. J. \textbf{59} (1) (2010), 79-90. \bibitem{Koiso3} M. Koiso; B. Palmer, \emph{Rolling construction for anisotropic Delaunay surfaces} Pacific J. Math. \textbf{234} (2) (2008), 345-378. \bibitem{Korevaar} N.J. Korevaar; R. Kusner; B. Solomon, \emph{The structure of complete embedded surfaces with constant mean curvature}, J. Diff. Geom. \textbf{30} (1989), 465-503. \bibitem{Kuhns} C. Kuhns; B. Palmer, \emph{Helicoidal surfaces with constant anisotropic mean curvature}, J. Math. Phys, \textbf{52} (7) (2011), 073506, 14 pp. \bibitem{Lawson} H.B. Lawson, \emph{Local Rigidity Theorems for Minimal Hypersurfaces}, Ann. of Math., \textbf{89} (1969), 187-197. \bibitem{Fengmei} F. Lin; B. Yang, \emph{Pseudo-parallel hypersurfaces of $\mathbb{S}^n \times \R$ and $\mathbb{H}^n \times \R$}, JP Journal of Geometry and Topology \textbf{15}, vol 2, (2014), 99-111. \bibitem{Lira} J.H.S. de Lira; M. Melo, \emph{Hypersurfaces with constant anisotropic mean curvature in Riemannian manifolds}, Calc. Var. \textbf{50} (2014), 335-364. \bibitem{Lobos2} G.A. Lobos, \emph{Pseudo-parallel surfaces in space forms}. Differential Geometry, Valencia, 2001, 197-204, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2002. \bibitem{Lobos} G. Lobos; M. Ortega, \emph{Pseudo-parallel real hypersurfaces in complex space forms}, Bull. Korean Math. Soc. \textbf{41} (2004), 609-618. \bibitem{Tassi} G.A. Lobos; M.P. Tassi, \emph{A classification of pseudo-parallel hypersurfaces of $\mathbb{S}^n\times\R$ and $\mathbb{H}^n\times\R$}. Diff. Geom. Appl. \textbf{62} (2019), 72-82. \bibitem{Lopez} R. L\'opez, \emph{Constant mean curvature surfaces with boundary}, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2013), ISBN: 978-3-642-39625-0. \bibitem{Lumiste1} U. Lumiste, \emph{Classification of two-codimensional semi-symmetric submanifolds}, Tartu Riikl. Ul. Toimetised no. 803 (1988), 79-94. \bibitem{Lumiste2} U. Lumiste, \emph{Normally flat semi-symmetric submanifolds}, Differential geometry and its applications, Dubrovnik, (1988), 159-171, Univ. Novi Sad 1989. \bibitem{Meeks} W.H. Meeks, \emph{The topology and geometry of embedded surfaces of constant mean curvature}, J. Diff. Geom. \textbf{27} (1988), 539-552. \bibitem{Tojeiro3} B. Mendon\c ca; R. Tojeiro, \emph{Submanifolds of products of space forms}. Indiana University Mathematics Journal. \textbf{62} (2013), 1283-1314. \bibitem{Tojeiro2} B. Mendon\c ca; R. Tojeiro, \emph{Umbilical submanifolds of $\mathbb{S}^n \times \R$}. Canad. J. Math. \textbf{66} (2014), 400-428. \bibitem{Tojeiro4} F. Manfio; R. Tojeiro, \emph{Hypersurfaces with constant sectional curvature of $\mathbb{S}^n \times \R$ and $\mathbb{H}^n \times \R$}. Illinois J. Math. \textbf{55}, No 1, (2011), 397-415. \bibitem{Onat} L. Onat, \emph{Some characterizations of the Wulff shape}, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I \textbf{348} (2010), 997-1000. \bibitem{Oneill} B. O'Neill, \emph{Isotropic and K\"{a}hler immersions}, Canad. J. Math. \textbf{17} (1965), 907-915. \bibitem{Palmer} B. Palmer, \emph{Stabilty of the Wulff shape}, Proc. Amer. Math. Soc. \textbf{126} (12) (1998), 3661-3667. \bibitem{Perdomo} O. Perdomo, \emph{A dynamical interpretation of the profile curve of CMC twizzlers surfaces}, Pacific J. Math. \textbf{258} (2) (2012), 459-485. \bibitem{Pogorelov1} A. Pogorelov, \emph{Continuous maps of bounded variation}, Dokl. Akad. Nauk SSSR (N.S.) \textbf{111} (1956), 757-759. \bibitem{Pogorelov2} A. Pogorelov, \emph{Extensions of the theorem of Gauss on spherical representation to the case of surfaces of bounded extrinsic curvature}, Dokl. Akad. Nauk. SSSR (N.S.) \textbf{111} (1956), 945-947. \bibitem{Rosenberg} H. Rosenberg; R. Souam; E. Toubiana, \emph{General curvature estimates for stable $H$-surfaces in $3$-manifolds and applications}, J. Diff. Geom. \textbf{84} (2010), 623-648. \bibitem{Rosenberg2} H. Rosenberg, \emph{Minimal surfaces in $M^2 \times \R$}, Illinois J. Math. \textbf{46} (2002), 1177-1195. \bibitem{Ryan} P.J. Ryan, \emph{A note on conformally flat spaces with constant scalar curvature}, Proceedings of the 13th Biennial Seminar of the Canadian Mathematical Congress, \textbf{2}, Canad. Math. Congr., Montreal (1972), 115-124. \bibitem{Sakaki} M. Sakaki, \emph{On the curvature ellipse of minimal surfaces in $N^3(c) \times \R$}. Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin \textbf{22} (2015), 165-172. \bibitem{Sakamoto} K. Sakamoto, \emph{Constant isotropic surfaces in $5$-dimensional space forms}. Geometria Dedicata \textbf{29} (1989), 293-306. \bibitem{Sakamoto2} K. Sakamoto, \emph{Planar geodesic immersions}. Tohoku Math. J. \textbf{29} (1977), 25-56. \bibitem{Sacksteder} R. Sacksteder, \emph{On hypersurfaces with no negative sectional curvatures}, Amer. J. Math. \textbf{82} No.3 (1960), 609-630. \bibitem{Xavier} B. Smith; F. Xavier, \emph{Efimov's theorem in dimension greater than two}, Invent. Math. \textbf{90} (1987), 443-450. \bibitem{Szabo} Z. I. Szab\'o, \emph{Structure theorems on Riemannian manifolds satisfying $R(X, Y ).R = 0$}, I: The local version, J . Diff. Geom. \textbf{17} (1982), 531-582. \bibitem{Szabo2} Z. I. Szab\'o, \emph{Structure theorems on Riemannian manifolds satisfying $R(X, Y ).R = 0$}, II: The global version, Geom. Dedicata \textbf{19} (1985), 65-108. \bibitem{Takagi} M. Takeuchi, \emph{An example of Riemannian manifold satisfying $R(X,Y) \cdot R = 0$ but not $\nabla R = 0$}, Tohoku Math. J. \textbf{24} (1972), 105-108. \bibitem{Takeuchi} M. Takeuchi, \emph{Parallel submanifolds of space forms}, Manifolds and Lie groups, In honor of Yozo Matsushima (J. Hano et al., eds), Birkh¨auser, Boston, (1981), 429-447. \bibitem{Taylor} J. Taylor, \emph{Crystalline variational problems}, Bull. Amer. Math. Soc. \textbf{84} (1987), 568-588. \bibitem{Tojeiro} R. Tojeiro, \emph{On a class of hypersurfaces in $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ and $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$}, Bull. Braz. Math. Soc. \textbf{41} (2010), No. 2, 199-209. \bibitem{Joeri} J. Van der Veken; L. Vrancken, \emph{Parallel and semi-parallel hypersur\-faces of $\mathbb{S}^n \times \R$}, Bull. Braz. Math. Soc. \textbf{39}, vol 3, (2008), 355-370. \bibitem{VerstraelenExtrinsic} L. Verstraelen, \emph{Natural extrinsic geometrical symmetries - an introduction}, Contemporary Mathematics \textbf{674}, AMS, (2016), 5-16.