Convexity, optimization and geometry of the ball in Banach spaces

Resumen

El objetivo de esta memoria es el estudio de varios temas en el marco de la geometría de los espacios de Banach, haciendo hincapié en la estructura de conjuntos convexos y su aplicación en espacios de funciones lipschitzianas y sus preduales. La metodología utilizada ha consistido en el estudio de los temas planteados con los directores de la tesis y con especialistas de otros grupos de investigación. Se ha desarrollado una estancia de tres meses en el Laboratoire de Mathématiques de Besançon bajo la supervisión de Gilles Lancien. Además, se han realizado dos visitas de investigación, la primera a Granada supervisado por Ginés López y la segunda a Besançon supervisado por Antonin Procházka. El doctorando ha acudido a congresos y escuelas para hablar y colaborar con expertos internacionales, estar al tanto de los últimos temas de investigación y presentar sus avances. A continuación resumimos el contenido de la memoria y los principales resultados obtenidos. El Capítulo 0 es de carácter introductorio. Incluye resultados conocidos sobre la estructura extremal, un marco general para las derivaciones de conjuntos y algunos resultados sobre productos tensoriales. El Capítulo 1 trata sobre la clase de conjuntos compactos convexos que admiten una función estrictamente convexa e inferiormente semicontinua. Obtenemos que un compacto convexo pertenece a dicha clase si y solo si se embebe linealmente en un espacio de Banach dual estrictamente convexo dotado de la topología débil*. Además analizamos la existencia de caras de continuidad y de puntos expuestos de continuidad de una función estrictamente convexa. Este capítulo está basado en un trabajo conjunto con J. Orihuela y M. Raja. En el Capítulo 2 se introduce una versión de la propiedad de Radon-Nikodym para aplicaciones. Probamos que el espacio de aplicaciones con tal propiedad hereda propiedades topológicas y geométricas del espacio de llegada. Además se estudia la relación con la aproximación mediante funciones delta-convexas y se obtiene una versión del principio variacional de Stegall en este contexto. Estos resultados forman parte de un trabajo con M. Raja. El Capítulo 3 trata sobre espacios fuertemente asintóticamente uniformemente suaves y convexos. Se utilizan estas propiedades para dar una respuesta parcial al problema de si el producto tensorial inyectivo de espacios AUS es AUS. Se aplican los resultados en espacios de Orlicz. Finalmente, se prueba que un producto tensorial inyectivo no trivial nunca es estrictamente convexo. Los resultados se han obtenido en colaboración con M. Raja. El Capítulo 4 se dedica al estudio de la dualidad de espacios de funciones lipschitzianas vector-valuadas. En particular, se obtienen generalizaciones de los resultados de Weaver y Dalet. Además, se introduce la noción de espacio incondicionalmente casi cuadrado, que se utiliza para dar una respuesta parcial al problema de si existen duales ASQ y adicionalmente para probar que ciertos espacios de funciones lipschitzianas no son duales isométricamente. Este capítulo ha sido elaborado a partir de trabajos conjuntos con C. Petitjean y A. Rueda Zoca. En el Capítulo 5 se estudian propiedades geométricas de espacios Lipschitz libres y espacios de funciones lipschitzianas. Obtenemos que estos espacios tienen la propiedad de Daugavet si y solo si el espacio métrico es un espacio de longitud, generalizando un resultado de Ivakhno, Kadets y Werner. Además se estudia la estructura extremal de la bola del espacio libre, obteniendo una caracterización de los puntos fuertemente expuestos. Finalmente prueba que el espacio de Pelczynski es isomorfo al espacio libre sobre un compacto convexo, y no es isomorfo al espacio libre sobre c0, lo que resuelve un problema de Cuth, Doucha y Wojtaszczyk. Los resultados incluidos forman parte de varios artículos junto con C. Petitjean, A. Procházka y A. Rueda Zoca.