Contribució a l'estudi dels conjunts extensionals de les relacions d'indistingibilitat i la seva aplicació a la representació d'imatges de ressonància magnètica

Resumen

This thesis can be summarized in the following sentence: All scientific models, for instance structural atlases of brain MRI, can be read in terms of fuzzy extensional sets. The work done in this doctoral thesis backs up and explains how this interpretation can be performed and provides future lines of application of the results developed in the field of automatized analysis of brain MRI neuroimages. Does this make any sense? Why should a framework be developed in order to apply fuzzy techniques in brain analysis? The first part of this work asks itself precisely this question, the why and for what of the thesis proposed. Uncertainty, as a multidimensional phenomenon, is studied and tried to discriminate the different sources and natures of vagueness, imprecision, partial truth and knowledge¿ These epistemological questions are studied all along the perception and knowledge construction process and analyzed why it does make sense to use fuzzy tools to represent some of these phenomena, either in the general and a medical case. To develop this part of the thesis the autor has contacted with 45 international experts on the field, who have helped to build the discourse that backs up the sense of the thesis. Following, the technical part of the thesis is developed. The main objects worked with are indistinguishability operators and those related such as extensional (observable) fuzzy subsets and upper and lower extensional approximation operators. These concepts are fundamental for the following construction proposed. One of the main results of this work is that, fixed a t-norm, there is a structural isomorphism between the lattices of indistinguishabilities, sets of extensional fuzzy subsets and upper and lower approximation operators. This result is new and enlightens the previous studies developed around these objects. It is studied as well how they are interrelated when further aggregation operators are considered such as quasi-arithmetic weighted means, either in a finite and infinite universe of discourse. An open problem of indistinguishability operators theory is how to approximate, minimizing the error, an arbitrary set by an extensional one. In the third chapter of this work 3 new methods are proposed for Archimedean t-norms and one for the Minimum t-norm. All the methods proposed improve significantly the results obtained by current methods in the literature. Given all these results, the theoretical framework that justifies the reinterpretation of scientific models proposed is solid enough. But what is a scientific model? This apparently straightforward question has no consensuated answer in the literature. In this work a definition is proposed and Wittgenstein's figurative theory is used to understand the essence and limits of the concept. The spectrum of a phenomenon is defined and its inevitability in any modelled phenomenon is justified. This spectrum is identified with observable (extensional) sets in the model and, taking into account the particular issues a specific phenomenon and model may have, this way it is possible to bring fuzzy techniques to the interpretation of the particular sample and model. An interesting and straightforward application is the definition of model-based distance functions. Finally, the proposed interpretation is applied in the specific field of analysis of of MRI brain structural atlases. It's important to highlight that this part of the work is just a proposal that should be studied further in future work in order to analyze proper and rigorously its benefits. In this proposal it is shown how an atlas can be particularized given a real human brain MRI and in the two appendices of this work two alternative future lines of research are given: how to define the atlas-based distance and use it in a segmentation process and how to build an own atlas given a local sample. Aquesta tesi pot ser resumida en una curta i senzilla frase: Tot model científic, en particular els models cerebrals de neuroimatge MRI, poden ser interpretats en termes de conjunts borrosos extensionals. El treball d'aquesta tesi doctoral fonamenta i explica com es construeix aquesta reinterpretació d'un model científic i dóna vies d'aplicabilitat futura dels resultats desenvolupats en el camp de l'anàlisi automatitzada de neuroimatge MRI. Té això sentit? Té sentit construir un marc teòric on utilitzar eines borroses en l'anàlisi d'imatges cerebrals? La primera part d'aquest treball es planteja precisament aquesta qüestió, el per què i per a què de la tesi proposada. S'estudia la incertesa com a fenomen multidimensional i s'intenten afitar les diferents fonts i naturaleses que fonamenten la vaguetat, la imprecisió, el coneixement parcial... Aquestes qüestions, pròpies de l'epistemologia, són analitzades en tot el procés perceptiu i de construcció del coneixement i explicitat per què sí té sentit utilitzar eines borroses per capturar alguns d'aquests fenòmens, en el cas general i també en un context mèdic. Per a realitzar aquesta part de la tesi doctoral s'ha contactat amb 45 experts de renom internacional en la matèria, que han ajudat a construir el discurs que fonamenta el sentit de la tesi. A continuació es desenvolupa la part tècnica de la tesi, on s'introdueixen les relacions d'indistingibilitat i els conceptes associats de subconjunt difús extensional (observable) i operadors d'aproximació per extensionals superior i inferior. Aquests conceptes són fonamentals per a la construcció que es proposa més endavant. Un dels resultats principals d'aquesta tesi és, fixada una t-norma, l'isomòrfia de les estructures (reticles) d'indistingibilitats, conjunts de conjunts extensionals i operadors d'aproximació superior i inferior. Aquest resultat és nou i aporta molta claredat als estudis fets a la literatura sobre aquests objectes formals. S'estudia també en aquesta tesi com s'interrelacionen aquestes estructures quan es consideren altres operadors d'agregació com les mitjanes quasi-aritmètiques, en un univers de discurs tant finit com infinit. Un problema de la teoria d'indistingibilitats és com aproximar, amb el mínim error possible, un conjunt arbitrari per un d'extensional. En el tercer capítol d'aquest treball es proposen 3 nous mètodes per a t-normes arquimedianes i un mètode per la t-norma Mínim. Tots els mètodes proposats en aquesta tesi superen amb escreix els resultats obtinguts pels mètodes actuals proposats a la literatura. Amb tots aquests resultats ja es tenen els fonaments teòrics per a justificar la reinterpretació proposada de models científics. Però què és un model científic? Aquesta aparentment trivial pregunta no té resposta consensuada a la literatura. En aquesta tesi s'estudia què és un model científic i s'utilitza la teoria figurativa de Wittgenstein per a entendre l'essència i els límits del concepte. Es defineix l'espectre d'un fenomen i es raona la seva inevitabilitat en tot fenomen que es modeli. S'identifica l'espectre del fenomen amb conjunts observables (extensionals) en el model i, tenint en compte les particularitats, així es poden introduir nocions i eines borroses a l'anàlisi de qualsevol model científic. Una interessant i immediata aplicació d'això és que tot model defineix una funció distància pròpia. Per últim s'aplica la construcció proposada en el camp concret dels atles estructurals en neuroimatge MRI. És important remarcar que el treball realitzat en aquest camp és tan sols una proposta i que cal aprofundir-hi en investigació futura per avaluar la bondat dels mètodes proposats. En aquesta proposta es mostra com es pot particularitzar un atles quan es té una imatge particular i en els dos annexes d'aquesta tesi es donen dues línies alternatives: utilitzar la distància associada a l'atles per a algoritmes de segmentació posteriors i la pròpia construcció d'un atles en un entorn local.