On Normal Forms and Splitting of Separatrices in Reversible Systems

Resumen

És difícil dibuixar una frontera, dins la Teoria de Sistemas Dinàmics, entre lleis de conservació i simetries doncs, sovint, les seves característiques es confonen. Un clar exemple d'aquest fenómen el constitueixen els sistemes Hamiltonians i els sistemes reversibles. Breument, un sistema dinàmic es diu temps-reversible (o, per nosaltres, simplement reversible) si és invariant sota l'acció d'un difeomorfisme involutiu a l'espai i una inversió en el sentit del temps. és en aquest marc on cal situar aquesta memòria. Concretament, ens centrem en dos punts molt particulars: la Teoria de Formes Normals i el fenómen del trencament de separatrius, tots dos introduïts per Poincaré a la seva tesi (1890). Respecte al primer d'aquests punts, en aquesta tesi s'introdueix el concepte de Pseudo Forma Normal (breument PNF), inspirat en idees d'en Moser, i que permet transformar, sota certes hipotesis, un sistema analític en un d'equivalent d'aspecte el més simple possible. Aquesta PNF és una generalització de la coneguda Forma Normal de Birkhoff amb la qual coincideix si el sistema considerat és Hamiltonià o reversible. Com a conseqüència, s'obté, en determinats casos, l'equivalència local entre aquests dos tipus de sistemes. Aquesta PNF pot esdevenir una eina útil per estudiar la dinàmica d'un sistema analític a l'entorn d'un equilibri (un punt, una òrbita periòdica o un tor). El segon punt, l'escissió de separatrius, fa referència a l'intersecció transversal de varietats invariants procedent del trencament d'una certa connexió homoclínica a l'afegir al sistema una petita pertorbació. Un dels motius d'interés sobre aquest fenòmen és que és un dels principals causants de comportament estocàstic en sistemes Hamiltonians. Un problema relacionat amb aquest trencament de separatrius és el de mesurar-lo, sigui a partir del càlcul de l'angle amb el que es troben aquestes varietats per primer cop, per l'àrea que tanquen entre elles, etc. El mètode habitualment utilitzat per a estimar-lo és l'anomenat mètode de Poincaré-Melnikov. Malhauradament, si la pertorbació és ràpidament oscil-latòria els termes que proporciona aquest mètode són exponencialment petits en el paràmetre pertorbador, fet que dificulta el seu càlcul. En aquesta tesi s'ha demostrat, tal i com passa en el cas Hamiltonià, que en el cas d'un sistema reversible, respecte a una involució lineal, 2-dimensional i pertorbat de manera ràpidament periòdica i reversible, el mètode de Poincaré-Melnikov és correcte i dóna en primer ordre l'anomenada funció de Melnikov. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------