Theory and applications of bounded component analysis in complex-valued signal processing

Resumen

Esta Tesis Doctoral está dedicada al estudio de la teoría y de las aplicaciones del Análisis de Componentes Acotadas (BCA), una técnica de análisis de componentes latentes cuya aplicación es resolver un buen número de problemas que surgen al tratar con señales de variable compleja. Al principio de la Tesis Doctoral, se introducen algunos conceptos importantes relacionados con el cálculo con variable compleja, tales como funciones de coste, derivadas de Wirtinger y gradientes. Gracias a ello, se presentan algunas aplicaciones de cómo se pueden resolver problemas clásicos de tratamiento de señal con variable compleja. Además, hacemos un repaso a los últimos avances en el campo de la estadística aumentada y el modelado widely linear. Se revisa en profundidad la teoría que sustenta BCA. Básicamente, está basada en las propiedades geométricas de las secuencias cuando se representan en el plano complejo, lo cual conecta dos campos de la matemática inusualmente relacionados, tales como la geometría convexa y el análisis de series temporales. Tras esta revisión a fondo, se presentan criterios basados en el perímetro convexo de un vector, para el caso ciego y también para el caso semi-ciego. Así, podemos extraer una o más fuentes de una mezcla lineal, siempre que estas cumplan las hipótesis básicas de BCA. Es más, las fuentes pueden ser dependientes, consiguiendo una separación correcta en escenarios donde el Análisis de Componentes Principales (PCA) o el Análisis de Componentes Independientes (ICA) fallan. Además, presentamos el estudio de convergencia de un método de extracción de fuentes basado en BCA, e implementado mediante un algoritmo de descenso por gradiente. Es por esto que podemos presentar toda una serie de valores para el paso adaptativo, cada uno de ellos con sus propias ventajas e inconvenientes. Por una parte, proponemos algunos pasos rápidos basados en el análisis del comportamiento local de la función de coste, pero que no garantizan la estabilidad de las iteraciones. Por otro lado, recomendamos un paso que garantiza la convergencia global monótona de las iteraciones a un mínimo local, aunque no es tan rápido como os anteriores. Este análisis está basado en un estudio detallado de la geometría de la ecuación de actualización. Finalmente, se aborda el problema de extracción supervisada de fuentes en mezclas sub-determinadas, en presencia de ruido. Mostramos cómo el modelo semi-ciego de BCA puede utilizarse como un paso previo a un método de clasificación no-lineal, con el objetivo de recuperar señales acotadas cuando no tenemos suficientes grados de libertad en el sistema. Esto es algo que otros métodos bien conocidos como el Mínimo Error Cuadrático Medio (MMSE) no son capaces de resolver.