Avances en aproximación en el disco unidadEl caso Zernike

Resumen

El objetivo de esta Tesis Doctoral es el estudio de aproximantes para funciones definidas en la bola unidad. Estos aproximantes se consideran utilizando dos enfoques diferentes: aproximación por mínimos cuadrados y aproximación uniforme. Como es bien conocido, la aproximación por mínimos cuadrados se basa en considerar productos escalares definidos sobre la bola unidad, y la aproximación uniforme se basa en considerar la norma uniforme, en este caso en el disco unidad. Damos especial énfasis a la aproximación por mínimos cuadrados basada en los polinomios ortogonales de Zernike, es decir, polinomios bivariados que son ortogonales con respecto a la medida de Lebesgue en el disco unidad, debido a las aplicaciones en Óptica y Optometría El primer enfoque se basa en aproximar funciones definidas en la bola �-dimensional mediante el estudio de modificaciones del producto escalar clásico (que incluye los polinomios de Zernike como caso particular cuando la función peso es una constante) mediante operadores diferenciales multivariados como gradientes o Laplacianos, los llamados productos escalares de Sobolev, de dos maneras diferentes. Primero, tratamos la bola unidad �- dimensional dotada con un producto escalar construido agregando un punto de masa en el origen al producto escalar clásico de la bola aplicado a los gradientes de las funciones. Determinamos una base explicita de polinomios ortogonales, y estudiamos las propiedades de aproximación de los desarrollos de Fourier en términos de esta base. Deducimos relaciones entre las sumas parciales de Fourier en términos de los nuevos polinomios ortogonales y las sumas parciales de Fourier en términos de los polinomios clásicos sobre la bola. También damos una estimación del error de aproximación por polinomios de grado no mayor a � en el espacio de Sobolev correspondiente, demostrando que podemos aproximar una función usando su gradiente. El siguiente capitulo se dedica al estudio de la estructura ortogonal inducida por un producto escalar que involucra los Laplacianos de las funciones, una extensión del producto estudiado estudiado por Xu en 2008 intentando resolver el problema planteado por Atkinson y Hansen de encontrar la solución numérica de la ecuación de Poisson no lineal con condiciones de contorno nulas en la bola unitaria de � dimensiones. Analizamos los polinomios ortogonales asociados a este nuevo producto escalar, demostrando que satisfacen una ecuación diferencial parcial de cuarto orden. También estudiamos las propiedades de aproximación de las sumas de Fourier con respecto a estos polinomios ortogonales y estimamos el error de aproximación simultanea de una función, sus derivadas parciales y su Laplaciano. En ambos casos, se presentan ejemplos numéricos para ilustrar el comportamiento de la aproximación en la base de Sobolev. El segundo enfoque consiste en la construcción y estudio de sucesiones de operadores tipo Bernstein que actúan sobre funciones bivariadas definidas en el disco unitario. Para ello, se estudian los operadores tipo Bernstein bajo una transformación de dominio, se analizan los operadores bivariados de Bernstein-Stancu y se introducen los operadores tipo Bernstein en los cuadrantes del disco mediante transformaciones continuamente diferenciables de la función. Se establecen resultados de convergencia para funciones continuas y se estima la velocidad de convergencia. Se presentan varios ejemplos numéricos interesantes que comparan las aproximaciones utilizando los operadores de Bernstein-Stancu desplazados y los operadores tipo Bernstein sobre los cuadrantes del disco.