La propiedad de Bishop-Phelps-Bollobás para operadores

Abstract

Si X, Y son espacios de Banach (reales o complejos), L(X,Y) denota el espacio de todos los operadores lineales y continuos definidos de X en Y. Se dice que un operador en L(X,Y) alcanza la norma si existe un vector x en la esfera de X tal que la norma de T(x) coincide con la norma del operador T. En Análisis Funcional, uno de los problemas que ha dado paso a un gran número de publicaciones, está enmarcado en el estudio de los operadores que alcanzan la norma, en el que se analiza la abundancia de este tipo de operadores en L(X,Y). Un primer paso significativo fue el dado por Errett Albert Bishop y Robert Ralph Phelps que en el año 1961 demostraron en [4] que la colección de funcionales que alcanzan la norma en L(X,K) (siendo K el cuerpo de escalares sobre el cual está definido X como espacio vectorial) es denso en L(X,K), resultado en el que solo se pide la completitud de X. Este resultado conocido ahora como el Teorema de Bishop-Phelps, dio origen a una linea de investigación, en la que el problema a tratar es el de encontrar propiedades geométricas sobre espacios X e Y que pueda garantizar la densidad de los operadores que alcanzan la norma en L(X,Y). Mas tarde, en el año 1970, Béla Bollobás en [5] demuestra una mejora del resultado de Bishop-Phelps, al afirmar que de manera uniforme, si un funcional f en L(X,K) está cerca de alcanzar su norma en un punto x de la esfera de X, entonces se puede encontrar un funcional g en L(X,K) que alcanza la norma en un punto tan próximo como se quiera de x de tal forma que g también estuviese igual de próximo a f, este resultado es conocido como el Teorema de Bishop-Phelps-Bollobás. Como era de esperar, esto dio pie a una nueva linea de investigación en la que se estudia qué par de espacios (X,Y) verifican un teorema de este tipo, por lo que se introdujo en [1] la propiedad de Bishop-Phelps-Bollobás para operadores sobre un par (X,Y), escrita de manera resumida como la BPBp. En esta tesis se expone en el capítulo 1, una propiedad geométrica que tiene la esfera unidad de Rn (espacio el cual es considerado con la norma uniforme y que denotamos como \ell_\infty^n) el que nos dice que todo punto de su bola unidad es salvo isometría, combinación convexa de n puntos extremos (de la bola) previamente fijados y que determinan a su vez una base de Rn, tal propiedad nos permite caracterizar los operadores en L(Rn,Y). En el capítulo 2 introducimos una propiedad llamada AHSP- \ell_\infty^n sobre un espacio de Banach Y real que caracteriza a los espacios para los que el par (\ell_\infty^n,Y) tiene la BPBp, exponiendo para ello las demostraciones pertinentes, Finalmente, en el capitulo 3 se exponen los principales espacios de Banach clásicos que tiene la AHSP- \ell_\infty^n obteniendo asi como resultado ejemplos de pares en los que no se conocía si tenían la BPBp como lo son el par (\ell_\infty^n,l1) y (\ell_\infty^n,L1(µ)) para cualquier medida positiva µ. Los resultados en los que se basa esta tesis se encuentran en [2] y [3]. [1] M.D. Acosta, R.M. Aron, D. García y M. Maestre. "The Bishop-Phelps-Bollobás theorem for operators". J. Funct. Anal. 254 (2008), 2780-2799. [2] M.D. Acosta y J.L. Dávila. "A basis of R^n with good isometric properties and some applications to denseness of norm attaining operators". J. Funct. Anal. 279 (2020), 108602. [3] M.D. Acosta, J.L. Dávila y M. Soleimani-Mourchehkhorti. "Characterization of the Banach spaces Y satisfying that the pair (\ell_\infty^4, Y ) has the Bishop-Phelps-Bollobás property for operators". J. Math. Anal. Appl. 490 (2019), 690-715. [4] E. Bishop y R.R. Phelps. "A proof that every Banach space is subreflexive". Bull. Amer. Math. Soc. 67 (1961), 97-98. [5] B. Bollobás. "An extension to the theorem of Bishop and Phelps". En: Bull. Lond. Math. Soc. 2 (1970), págs. 181-182.