On the geometry around an operator between Banach spaces

Resumen

El objetivo de esta tesis es estudiar y analizar diferentes conceptos relacionados con la geometría del espacio de los operadores lineales y continuos entre espacios de Banach alrededor de un operador fijado. Esta tesis sigue el formato de agrupación de publicaciones y su contenido está organizado en seis capítulos, cada uno correspondiendo a un artículo independiente. El Capítulo I [1] consiste en un profundo estudio del índice numérico respecto a un operador entre espacios de Banach. Esta noción es la mejor constante de equivalencia entre la norma usual de operadores y el radio numérico respecto a un operador. En primer lugar, damos algunas herramientas que serán de ayuda a la hora de estudiar este concepto y presentamos algunos resultados sobre índice numérico respecto a operadores adjuntos y de rango uno. Después, nos centramos en el conjunto de los posibles valores que puede tomar el índice numérico respecto a todos los operadores de norma uno entre dos espacios de Banach. Por ejemplo, probamos que este conjunto es trivial cuando el dominio o el codominio es un espacio de Hilbert real o bien el espacio de los operadores compactos definidos en un espacio de Hilbert real. También estudiamos este conjunto para algunos espacios de Banach clásicos, como el espacio real Lp o el espacio de las funciones continuas en un espacio de Hausdorff compacto. Por otro lado, mostramos que el concepto de rango numérico Lipschitz para aplicaciones Lipschitz de un espacio de Banach en sí mismo se puede ver como un caso particular de rango numérico respecto a un operador lineal entre espacios de Banach convenientemente elegidos. Para finalizar este capítulo, presentamos algunos resultados sobre la estabilidad de este concepto cuando construimos operadores diagonales entre algunas sumas de espacios de Banach, cuando consideramos operadores de composición en algunos espacios de funciones con valores vectoriales, cuando tomamos el adjunto de un operador y, finalmente, cuando componemos dos operadores. En el Capítulo II [3], trabajamos con el índice numérico (i.e., el índice numérico respecto al operador identidad) de ideales de operadores y productos tensoriales. Demostramos que el índice numérico de un ideal de operadores con la norma usual es menor o igual que el mínimo de los índices numéricos del dominio y del codominio. Para el espacio de operadores compactos y el de operadores débilmente compactos obtenemos desigualdades más fuertes que nos permiten dar ejemplos interesantes. También probamos que el índice numérico de un producto tensorial proyectivo o inyectivo de espacios de Banach es menor o igual que el índice numérico de cualquiera de los factores. Además, probamos que si el producto tensorial proyectivo de dos espacios de Banach tiene la propiedad de Daugavet y uno de los factores verifica que su bola unidad es SCD o que su dual contiene un punto de diferenciabilidad Fréchet para la norma, entonces el otro factor hereda la propiedad de Daugavet. Por otro lado, si el producto tensorial inyectivo de dos espacios de Banach tiene la propiedad de Daugavet y uno de los factores contiene un punto de diferenciabilidad Fréchet para la norma, entonces el otro factor tiene la propiedad de Daugavet. Los Capítulos III [5] y IV [6] están dedicados al problema de calcular el índice numérico del espacio Lp real de dimensión dos. Para ello, primero trabajamos en cualquier espacio real de dimensión dos dotado de una norma absoluta y simétrica y damos una cota inferior para el índice numérico de dichos espacios. Además, probamos que en muchos casos el índice numérico coincide con la cota dada y, como consecuencia, calculamos el índice numérico del espacio Lp real de dimensión dos para valores de p entre 3/2 y 3. En nuestro segundo acercamiento trabajamos directamente en el espacio Lp real de dimensión dos y calculamos su índice numérico para valores de p entre 6/5 y 3/2, así como entre 2 y 6. En el Capítulo V [2], introducimos y estudiamos el concepto de operador generador. Estos operadores son aquellos que general la bola unidad del dominio por envolvente convexa y cerrada de los puntos donde el operador casi alcanza su norma. Damos una útil caracterización de los operadores generadores en términos de la geometría de ciertos subconjuntos de los espacios duales. Analizamos también la relación de los operadores generadores con la propiedad de alcanzar la norma. Mientras los operadores generadores de rango uno o aquellos cuyo dominio tiene la propiedad de Radon-Nikodým alcanzan su norma, hay operadores generadores, incluso de rango dos, que no alcanzan su norma. Además, caracterizamos la posibilidad de que un espacio de Banach X sea el dominio de un operador generador que no alcance su norma en términos del comportamiento de ciertos conjuntos del dual de X. Por otro lado, estudiamos el conjunto de todos los operadores generadores entre dos espacios de Banach X e Y. En esta línea, probamos que este conjunto genera la bola unidad del espacio de los operadores lineales y continuos entre X e Y por envolvente convexa y cerrada cuando X es el espacio de las sucesiones absolutamente sumables y, de hecho, esta es la única posibilidad en caso real para espacios de dimensión finita. En el Capítulo VI [4], usando su conexión con el rango numérico abstracto, presentamos un método general y extensamente aplicable para abordar la ortogonalidad de Birkhoff-James. De manera más precisa, caracterizamos la ortogonalidad de Birkhoff-James en un espacio de Banach Z en términos de las acciones de los funcionales que pertenece a un subconjunto del dual que es uno-normante para Z. Este método general se puede aplicar en numerosos casos para obtener tanto resultados ya conocidos, como pueden ser las caracterizaciones de ortogonalidad de Birkhoff-James en el espacio de operadores dotado con la norma usual de operadores o con el radio numérico, como nuevos resultados sobre ortogonalidad de Birkhoff-James en espacios de funciones acotadas con valores vectoriales y en sus subespacios. Además, damos aplicaciones para vectores y operadores lanza. Concretamente, probamos que ningún punto suave de un espacio de Banach Z puede ser Birkhoff-James ortogonal a un vector lanza de Z. Cuando Z es el espacio de los operadores lineales y continuos entre espacios de Banach, esto nos lleva a obtener resultados obstructivos para la existencia de operadores lanza y para que un espacio de Banach tenga índice numérico uno.