Álgebras de semigrupos y aplicaciones

Resumen

Dado un semigrupo abeliano, cancelativo,finitamente generado y con elemento neutro, S, y un cuerpo k,podemos considerar el álgebra S-graduada k[S]. El estudio de esta álgebra tiene un gran interes dentro de la Geometria Algebraica por su relación con la Geometría Tórica. De hecho, estudiar esta álgebra es equivalente a estudiar las relaciones entre los generadores de ideales definidos por variedades monomiales. Si tenemos un conjunto,{n1,....,nr}, de generadores de S, y consideramos el anillo de polinomios R=k[X1,....,Xr],podemos estudiar la resolución libre de K[S]. En esta memoria nos centramos en el estudio de los módulos de sicigias de esta resolución. En primer lugar estudiamos la estructura de los ideales asociados a semigrupos determinando que, para determinados semigrupos, estos se corresponden con ideales de retículo. Damos algoritmos basados en bases de Gröbner que nos permiten calcular sistemas irreducibles de generadores del ideal de un semigrupo con torsión. Además, damos un método efectivo, basado en el cálculo de N-soluciones de sistemas diofánticos en congruencias, para calcular los grados que aparecen en el primer módulo de sicigias de k[S], ampliando estos resultados a toda la resolución del álgebra k[S]. . De estos métodos, deducimos cotas para los grados que aparecen en un sistema minimal de generadores el i-ésimo modulo de sicigias de k[S], en función solamente de los generadores del semigrupo. Explicitamos además una cota para la regularidad de una variedad tórica, así como un algoritmo para hallar dicha regularidad. Gran parte de nuestros resultados se obtienen a través de un estudio de las estructuras de las soluciones enteras positivas de un sistema diofántico en congruencias. Una vez explicitadas sus estructuras, demos algoritmos basados en bases de Gröbner y en el lema de Dickson para resolver sistemas diofánticos en congruencias sin añadir nuevas variables.