Curvature prescription problems on manifolds with boundary

Resumen

Esta tesis comprende el estudio de dos problemas elípticos semilineales que aparecen en el ámbito de la Geometría Riemanniana. En concreto, estamos interesados en prescribir determinadas cantidades geométricas en variedades Riemannianas con borde mediante transformaciones conformes de la métrica, a saber, las curvaturas Gaussiana y geodésica en una super cie compacta y su borde, y las curvaturas escalar y media en una variedad de dimensión superior. La mayor parte de los resultados disponibles se centran en el estudio de estas ecuaciones en variedades cerradas, mientras que el caso con borde ha sido mucho menos tratado. En este sentido, destacamos que la presencia de borde da lugar a una mayor cantidad de fenómenos, muchos de los cuales no encuentran análogo en las versiones cerradas de estos problemas. En particular, la formulación variacional del capítulo 4, y los argumentos de compacidad y existencia del capítulo 5 están íntimamente relacionados con la presencia de borde. Además, el foco de nuestra investigación está puesto en el caso en que las curvaturas prescritas son no constantes, para los cuales hay solo unos pocos resultados conocidos. Este tipo de problemas admite una estructura variacional, de modo que discutiremos la existencia de soluciones desde el punto de vista del Cálculo de Variaciones. A veces los funcionales de energía considerados estarán minorados y será posible encontrar un mínimo global; en otros casos, sin embargo, esto no es posible y el uso de la teoría mín-máx se hace necesario. En esta última situación, esto nos conduce al análisis de soluciones de blow-up de problemas aproximados. El trabajo desarrollado en esta tesis ha dado lugar a dos artículos de investigación, [31] y [32].